CCF20090120100

STOSOWANIE METOD PRZYBLIŻONYCH

Być imoże, Czytelnik nie zwrócił do tej pory uwagi na to, jak subtelnym pojęciem jest „prędkość”. Było bardzo łatwo wyjaśnić pojęcie „prędkości średniej”. Samochód przejechał 30 km w ciągu godziny; jego średnia prędkość wyniosła 30 km na godzinę. Jest to pojęcie dość proste. Ale jaka jest prędkość samochodu w chwili zderzenia? To pojęcie jest znacznie trudniejsze: znacznie trudniej jest tę prędkość zmierzyć. Musimy rozpocząć pewien skomplikowany proces. Musimy obliczyć prędkość średnią na minutę przed zderzeniem, na sekundę, na jedną dziesiątą sekundy itd. Musimy sprawdzić, czy odpowiedzi zbliżają się coraz bardziej do pewnej liczby; jeżeli tak, to liczba ta wyznacza prędkość w chwili zderzenia.

Aby przeprowadzić ten proces, powinniśmy mierzyć bardzo krótkie okresy czasu — kolejno setną, tysięczną, milionową część sekundy — i bardzo małe odległości przebyte w tych okresach. Ale nawet wówczas nie możemy być zupełnie pewni, że otrzymamy dokładną odpowiedź. Zawsze jest możliwe, że w ostatniej bilionowej części sekundy kierowca wcisnął hamulec mocniej niż poprzednio, tak że prędkość w ostatniej chwili była w rzeczywistości mniejsza niż można by się było spodziewać na podstawie prędkości średniej w ciągu ostatniej milionowej części sekundy.

Inżynierowie i matematycy „czyści” mają do tego zagadnienia różne nastawienia. Dla inżyniera tego rodzaju dyskusja jest stratą czasu. Jest mu wszystko jedno, czy prędkość wynosiła 50 czy 50,00031 km na godzinę. Nie może on przy mierzeniu prędkości wyjść poza pewną określoną dokładność, a zresztą — nie jest mu to potrzebne. Jeżeli nawet hamulec wciśnięto mocniej w ostatniej bilionowej części sekundy,

to zmieni to prędkość tylko w minimalnym stopniu. Dla inżyniera prędkość średnia w ciągu ostatniej milionowej części sekundy jest prędkością w chwili zderzenia.

Dlaczego matematyk nie zgadza się z tym punktem widzenia? Nie wynika to jedynie z pasji dzielenia włosa na czworo, jaka ogarnia niektórych matematyków. Jeden powód jest natury historycznej. Początkowo rachunek różniczkowy stosowano raczej tak, jak to odpowiada praktykom. Rozpatrywano bardzo małe odcinki czasu. Przy obliczaniu prędkości średniej zakładano, że ten odcinek czasu jest pewną określoną liczbą większą od zera. Ale w odpowiedzi występowały pewne niepożądane wielkości; wówczas matematycy zmienili zdanie i oświadczyli, że rozpatrzony odcinek czasu jest tak mały, iż można go traktować jak zero. Tak więc, raz jedna milionowa była jedną milionową, a kiedy indziej (gdy to 'dawało dogodniejszą odpowiedź) jedna .milionowa była traktowana jak zero. Uczniowie czuli oczywiście, że jest to dziwna sprawa. Niektórzy matematycy nie wierzyli, aby 'takie metody mogły prowadzić do poprawnych wyników. Tak więc 'matematycy byli zmuszeni do uporządkowania tego nieładu i do znalezienia dokładniejszego i bardziej logicznego sposobu wyjaśnienia, co rozumieją oni przez prędkość. Dlatego też we współczesnych książkach dotyczących rachunku różniczkowego, napisanych dla zawodowych matematyków, znajdziemy bardzo długie i skrupulatnie przeprowadzone dowody. Dobrze jest zrozumieć te dowody, ale raczej nie należy od nich zaczynać studiowania rachunku różniczkowego. Lepiej jest najpierw nauczyć się stosować rachunek różniczkowy, zobaczyć, co można za jego pomocą osiągnąć, uzmysłowić sobie, czego on dotyczy. W trakcie tego stopniowo odczujemy potrzebę wprowadzenia bardziej precyzyjnych pojęć,

203