CCF20090120105

dzie z prędkością 30 mil na godzinę, ale co pół godziny zatrzymuje się na 5 minut.

c) Pociąg wyjeżdża z Londynu o godzinie 1'2⁴⁸ i je-dzie z prędkością 50 mil na godzinę.

Na tych wykresach przebyta odległość wzrasta w górę, a upływający czas wzrasta na prawo. Czytelnik może stwierdzić, że pociągi szybsze mają wykresy bardziej strome i że to umożliwia ekspresowi (c) prześcignąć pociąg towarowy (a).

2.    Piłka krykietowa została rzucona pionowo do góry. Po x sekundach jej wysokość wynosi y stóp, gdzie y = 40x— I6x². Oblicz y' i y". Wykaż, że y" jest stale ujemne i że y' jest początkowo dodatnie, a następnie staje się ujemne. Kiedy y' = 0? Sporządź 'wykres ruchu piłki. Kiedy piłka znajdzie się najwyżej? Jaka to jest wysokość?

3.    Kawałek drewna wyrzucono do morza. Po trzech sekundach drewno pojawiło się znów na powierzchni. Naukowiec stwierdził, że przez ten czas wykres ruchu spełniał równanie y = — 30x+10ar², gdzie x oznacza czas w sekundach, jak upłynął od chwili wrzucenia drewna do wody, a y wysokość w stopach, na jakiej znalazło się drewno (mierzoną w kierunku ku górze, tak że głębokość poniżej poziomu morza jest ujemna). W jakim zakresie ten opis zachowania się kawałka drewna jest właściwy?

4.    Z wyrzutni wystrzelono ciało (obojętne, czy to jest kamyk, czy szybowiec) i jego ruch zarejestrowano w postaci wykresu. Jaki będzie kształt (skręt) krzywej, gdy: a) ciało znajduje się jeszcze w wyrzutni i nabiera prędkości; b) po opuszczeniu wyrzutni przez ciało?

5.    Ustalić ogólny kształt wykresów przytoczonych niżej wzorów, obliczając y' i y" i badając jakie są ich znaki (+ czy —). Rozpatrzyć a: od —10 do 10.

a) y = x²-fx; b) y — X³; c) y = x³—x\ d) y — x—x²; e) y = X³—x^A.

Prosimy zwrócić uwagę na to, że tam, gdzie y' = 0, krzywa jest chwilowo pozioma. Odnosi się to szczególnie do b) i e).

6.    Następujący przykład można rozwiązać metodą przybliżeń.

Pewien człowiek idzie wzdłuż linii prostej w kierunku wschodu z prędkością 5 stóp na sekundę. Człowiek ten gwiżdże na iswego psa w momencie, gdy pies znajduje się o 30 stóp na ipółnoc od pana. Człowiek nie przestaje iść naprzód. Pies biegnie z iprędkością 20 stóp na sekundę wciąż kierując się w stronę swego pana. Należy wykreślić przybliżoną krzywą, która opisuje

.    pozycja psa

w odstępach ' co /₀ sek.

Ryc. 38

drogę psa. Kiedy mniej więcej pies dobiegnie do pana? (Jest rzeczą jasną, że gdyby pies zastanowił się nad tym, co robi, pobiegłby iwzdłuż prostej w kierunku punktu leżącego w pewnej odległości przed jego panem, a nie biegłby ciągle >w kierunku pana).

Metoda rozwiązania. Zastąpmy ciągły ruch człowieka przez szereg skoków. Przypuśćmy, że człowiek stoi w bezruchu ;przez jedną dziesiątą sekundy, a następnie skacze nagle na odległość 6 cali. W ten sposób człowiek iprzebędzie w ciągu sekundy odległość 5 stóp. Mech pies biegnie, wzdłuż łańcucha złożonego z odcinków linii prostej, każdy o długości 2 stóp, kierując się w stronę kolejnych pozycji, w których stoi człowiek. Robiąc wykres tego łańcucha możemy w przybliżeniu określić ruch psa i stwierdzić, kiedy dobiegnie do swego pana.