CCF20090120143

Im więcej sklepów ma towarzystwo handlowe, tym szybciej może się rozwijać.

Jeżeli państwo chce rozbudować swój przemysł, a rozporządza bardzo małym wyposażeniem, to tempo, w jakim może ono zakładać nowe fabryki, jest bardzo małe; ale im więcej ma fabryk, tym szybciej może wyposażać nowe fabryki. W kraju podbitym przez inne państwo zachodzi zjawisko odwrotne; im więcej fabryk kraj traci, tym mniej swoich strat może uzupełnić.

Ludność kraju w ustalonych warunkach może wzrastać zgodnie z wzorem e^bx. Im więcej ludzi jest w kraju, tym więcej dzieci może się urodzić. Ludność Stanów Zjednoczonych w latach 1790 do 1890 wzrastała mniej więcej zgodnie z wzorem y ~ 3,9 • l0^0>ftiaa:, gdzie y oznacza liczbę ludności w milionach, a x lata po 1790 r. ¹ Taki wzór przestaje, oczywiście, być w mocy, gdy kraj osiąga taki stan, że nie może utrzymać więcej ludżi. Podobne rozumowanie odnosi się do tempa, w jakim mnożą się bakterie w szklance kwaśniejącego -mleka, do rozmnażania się królików w Australii i do innych form wz-rostu istot żywych.

W pewnych warunkach także nowa religia lub idea polityczna rozprzestrzenia się zgodnie z wzorem wykładniczym. Jeżeli duża liczba ludzi jest usposobiona do przyjęcia jakiejś nowej doktryny, gdy się ją im przedstawi, to rozprzestrzenienie się danej doktryny będzie w znacznej mierze zależało od liczby mężczyzn i kobiet, którzy działają jako rzecznicy tej idei. Dopóki Mahomet jest osamotniony, może on wpływać tylko na ludzi ze swojej okolicy. Wraz z każdym nawróconym, jego siła oddziaływania na innych wzrasta. Można znaleźć przypadki, w których statystyki dowodzą, że pewien ruch rozprzestrzeniał się zgodnie z wzorem wykładniczym, podlegającym, oczywiście, pewnym nieznacznym zmianom spowodowanym innymi czynnikami i szczególnymi przyczynami, które pomagały lub przeszkadzały ruchowi. Fakt, że pewien ruch rozprzestrzenia się w ten sposób w ciągu pewnego okresu, nie mówi nam nic o jego perspektywach; ruch ten może zamrzeć z powodu nieudolności przywódców, rozczarowania albo po prostu na skutek niesprzyjających okoliczności. Gdy jakieś wydarzenia przebiegają zgodnie z pewnym prawem matematycznym, znaczy to, że w pewnym okresie decydująca była jedna czy dwie proste przyczyny; im więcej różnych przyczyn działa, tym bardziej skomplikowany staje się wykres -ruchu.

Teren, na którym funkcja wykładnicza jest na dobre zadomowiona, pozostaje daleko od skomplikowanych zagadnień życia ludzkiego czy organizmów zwierzęcych. W naukach, których przedmiotem jest nieożywiona materia, funkcje wykładnicze znajdują częste zastosowanie. Oto kilka przykładów spośród niezliczonej ilości problemów, w których pewna wielkość rośnie albo maleje w tempie proporcjonalnym do swoich rozmiarów: prędkość ciała poruszającego się w powietrzu (przy uwzględnieniu oporu powietrza), ciśnienie atmosferyczne na różnych wysokościach, oscylacja obwodu elektrycznego, przejście elektronu przez gaz, rozpad radu, prędkość reakcji chemicznej, prąd w elektromagnesie, zanikanie jakiegokolwiek drgania. Jest rzeczą naprawdę godną uwagi, jak wiele zjawisk fizycznych można opisać za pomocą najprostszych funkcji matematycznjrch, xⁿ i e^x.

19 Matem, nauką przyj.

1

Cooley, Gans, Klimę, Wahlert Introduction to Ma-thematics, s. 383.