CCF20090120145

(kie wyższe potęgi i będą 'kolejno równe: 1 ,i, ~1, — i. Zgodnie z tym

e*^a = l-f ta~ —er—— ta*+ — a-p...

Jeżeli oddzielimy wyrazy, które zawierają i, od tych, które nie zawierają i, to stwierdzimy, że wyrazy bez i dają szereg dla cos a, a wyrazy zawierające i są równe i razy szereg dla sin a. Krótko możemy to zapisać następująco:

e^ia = cos a+i sin a

Jest to raczej zaskakujący wynik. e^x jest prostą funkcją, tak jak 2^X czy 3+ Funkcje tego typu spotykamy bardzo wcześnie — w kursie arytmetyki, rozpatrując procent składany. Wyraz e jest liczbą zawartą pomiędzy 2 i 3 i wynosi ok. 2,7.

Wielkości cos a i sin a są zupełnie inne. Spotykamy je najpierw w związku z geometrią, jako boki trójkąta prostokątnego. Nie ma w ogóle żadnego powodu, aby oczekiwać, że będą one związane z jakimikolwiek prostszymi wyrażeniami algebraicznymi; w rzeczywistości dla większość ludzi jest tajemnicą, jak utworzono tablice dla sin a.

Podany wyżej wzór wskazuje, że cos a i sin a są w istocie ściśle związane z najprostszym typem funkcji. e^x ma wiele prostych własności; np. e^p ♦ e^q = e^p+^ą, gdzie p i q są dwiema dowolnymi liczbami. Biorąc p — ia oraz q — ib, otrzymamy następujący wynik:

glŁ) ——:    “f" &)

tj. tpos a+i sin a) (cos b+i sin b) = cos (a+b) + + i sin (a+b). Jeżeli wykonamy mnożenie po lewej stronie równania i porównamy obie strony, to zobaczymy, że cos (a+b), wyraz nie zawierający i, musi być równy (cos a cos b~sin a sinb), a liczba występująca z i, tzn. sin (a + b), musi być równa liczbie występującej z i po drugiej stronie równania, tzn. liczbie (cos a sin b-h +sin a cos b).

Wszystkie wzory dotyczące sinusa i cosinusa podawane w podręcznikach trygonometrii można otrzymać, zazwyczaj bardzo łatwo, korzystając z własności funkcji e^x. Fakt ten można wykorzystać dla odciążenia pamięci. Zamiast uczyć się wzorów, można je zawsze, gdy są potrzebne, wyprowadzić stosując e^ia.

Łatwo można znaleźć wzory na cos a i sin a

1

w zależności od e^la. Istotnie, cos a = — (e^ia~

+ e~^ia). Każde zagadnienie dotyczące cosinusów można przekształcić w zagadnienie dotyczące funkcji wykładniczych. W ten sposób można np. natychmiast znaleźć / (cos x)^Gdx, gdyż funkcje wykładnicze łatwo się całkuje.

Wszystkie zagadnienia dotyczące sinusów i cosinusów możemy uważać za zagadnienia dotyczące funkcji wykładniczych, oszczędzając sobie w ten sposób trudu uczenia się specjalnych metod dotyczących sinusów i cosinusów. A zatem i jest bardzo pomocnym narzędziem; jak wspomnieliśmy w rozdz. 5, często z niego korzystają inżynierowie elektrycy.

CO TO JEST i?

Na pierwszy rzut oka wydaje się bardzo dziwne, że pierwiastek kwadratowy z minus jedności •—'Coś, czego nikt nigdy nie widział i co wydaje się być z natury rzeczy niemożliwe — jest użyteczny przy rozwiązywaniu takich zagadnień, jak konstrukcja dynama, silnika elektrycznego, ośiwietlenia elektrycznego i aparatów radiowych.

293