CCF20090120146

Jeżeli jakiś naturalny fakt robi na nas wrażenie dziwnego, znaczy to, że patrzymy nań z niewłaściwego punktu widzenia. Jeżeli wszechświat wydaje nam się tajemniczy, to dlatego, że mamy pewne wyobrażenie dotyczące tego, jaki powinien być wszechświat, i następnie jesteśmy zdziwieni, gdy okazuje się, że jest on nieco inny. Błąd leży w naszym początkowym wyobrażeniu, nie we wszechświecie.

Jeżeli i wydaje nam się dziwne, to dlatego, że myślimy o i jak o zwykłej liczbie. Ale nie ma takiej liczby x, dla której x² — —1. Przekonaliśmy się o tym w rozdz. 5.

Widzieliśmy także, że oznaczenie i, dla którego przyjmujemy, iż i² — — 1, prowadzi do zupełnie poprawnych wyników; a zatem i ma jakieś znaczenie, i nie może być liczbą; ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby przypuścić, że i jest czymś innym. Faktycznie, i można interpretować jako operator.

Operacja oznacza zrobienie czegoś: „Obrócić fortepian górną częścią do dołu”, „Zrobić dwa kroki na prawo”, „Wyrzucić pana Jonesa” to przykłady operacji zastosowanych do fortepianu, żołnierza i pana Jonesa. Jeżeli użyjemy symbolu U jako skrótu słów „obrócić górną częścią do dołu”, a symbolu p na oznaczenie fortepianu, to Up ma to samo znaczenie, co pierwsze podane wyżej zadanie. U nazywamy operatorem. Operację można powtarzać. UUp Oznaczałoby „Obrócić fortepian górną częścią do dołu, a następnie 'obrócić go ponownie górną częścią ¹ do dołu”, co oczywiście doprowadziłoby fortepian do jego pierwotnego położenia. Zazwyczaj UU zapisuje się jako U², UUTJ jako U³ itd. Ponieważ dwukrotne obrócenie fortepianu górną częścią do dołu pozostawia go w jego położeniu wyjściowym, więc UUp = p albo U²p = p. Wygodnie jest użyć znaku 1 na oznaczenie operacji pozostawienia czegoś w spokoju. Tak więc lp oznacza wynik pozostawienia fortepianu w spokoju; wynik ten oznacza, oczywiście, fortepian w jego pierwotnym położeniu, p. A zatem U²p = lp. Taki wynik jest prawdziwy nie tylko w przypadku fortepianu; wynik dwukrotnego obrotu dowolnego ciała stałego (ale nie szklanki z wodą!) górną częścią do dołu jest taki sam, jak wynik pozostawienia go w spokoju. Wyrażamy to równością U² = 1.

Czytelnik sam będzie mógł stwierdzić, że z powodzeniem można przeprowadzać rozumowania dotyczące operacji i otrzymywać dla nich wyniki, których prawdziwość można stwierdzić opierając się jedynie na zdrowym rozsądku. Stwierdzi także, że wyniki te zapisane przy użyciu symboli algebraicznych wyglądają jak równości dotyczące liczb i że można je łatwo pomylić z odpowiednimi wynikami dotyczącymi liczb. Właśnie tego rodzaju pomyłkę ponełmono rzeczywiście w związku z równością i² = —1. Aby uniknąć takich nieporozumień, wszystkie znaki reprezentujące operacje drukujemy grubą czcionką. Tak więc, począwszy od tego miejsca będziemy pisali i zamiast i, aby zaznaczyć, że nie mamy do czynienia z oznaczeniem liczby.

Operatory nie sa liczbami, ale często są ściśle z nimi związane. Na przykład, w maszynie sumującej mamy pewną liczbę kół zębatych zamontowanych w ten sam sposób, jak koła w liczniku przebytych km w samochodzie. Za każdym razem, gdy samochód przebywa km, koło reprezentujące jednostki obraca się o jedną działkę j. do ilości przebytych km zostaje dodana jedność. Obracanie się koła jest operacją, która odpowiada dodaniu jedności do ilości przebytych km. Dzięki tej odpowiedniości pomiędzy li-

295

1

Przez górną część fortepianu rozumiemy tu, oczywiście, część aktualnie znajdującą się u góry. W tym momencie górną część stanowią nogi fortepianu (przyp. tłum.).