CCF20140608014

56 5. Wymiary: fraktalny, Hausdorffa i topologiczny

Rys. 5.2. Pierwsze przybliżenie atraktora iks3 i atraktor iks2

Przykład 5.4 (gąbka. Mengera). Podobnie jak w poprzednim przykładzie, sześcian o boku równym jeden podzielimy na 27 jednakowych kostek, ale usuniemy tylko 7 kostek, tak aby utworzyć trzy prostopadłe do siebie tunele przecinające się w środku sześcianu (rys. 5.3). W drugim kroku iteracji zrobimy to samo dla pozostałych 20 (domkniętych) kostek itd. W granicy, po nieskończonej liczbie iteracji otrzymamy tzw. gąbkę Mengera. Jej objętość jest równa zero. Rzut gąbki Mengera na płaszczyznę równoległą do boku sześcianu (a również część wspólna boku sześcianu i gąbki Mengera) jest dywanem Sierpińskiego. Minimalna liczba kostek, o boku równym e = (1/3)”, niezbędnych do pokrycia całej gąbki Mengera wynosi N(e) = 20”, a stąd wynika wartość wymiaru

d(gąbka Mengera) =

log 20 log 3

2,726833028...

(5.6)

□

Rys. 5.3. Dwa początkowe przybliżenia gąbki Mengera