CCF20140608011

Rozdział 5

Wymiary: fraktalny, Hausdorffa i topologiczny

Jedną z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk fraktali jest wymiar. Pojęcie wymiaru występowało już w dziełach Euklidesa. Wiadomo, że wymiar linii jest równy jeden, powierzchni - dwa, a obszaru (w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej) - trzy. Fizycy korzystają często z przestrzeni N-wymiarowych. Jeżeli n swobodnych punktów materialnych porusza się w przestrzeni fizycznej, to układ równań różniczkowych opisujących ten ruch można interpretować jako wektorowe równanie ruchu jednego punktu w 6n--wymiarowej przestrzeni stanów z 3n współrzędnymi geometrycznymi i 3n prędkościami uogólnionymi (po trzy kierunki dla każdego punktu).

Pojawienie się w matematyce przykładów dziwnych zbiorów, takich jak zbiór Cantora (1883) [11], krzywe Peano (1890) [57] i Hilberta (1891) [31], które przechodzą przez wszystkie punkty kwadratu (przez niektóre nawet wiele razy), dywan Sierpińskiego (1915) [70] i kilka innych, wywołało w latach dwudziestych ubiegłego wieku dyskusję na temat pojęcia wymiaru. Brało w niej udział wielu wybitnych matematyków (L. E. Brouwer, K. Menger, P. Urysohn) i powstało wiele różnych definicji [19]. Przedstawimy poniżej definicje wymiaru Hausdorffa (1918) [28] i wymiaru topologicznego Mengera [53], bo te dwa pojęcia występują w sformułowanej przez Mandelbrota definicji fraktali. Zaczniemy jednak od przedstawienia bardzo prostej i powszechnie używanej (ale mającej pewne wady) definiq'i H. Minkowskiego [49], [20], [60], która występuje w literaturze pod różnymi nazwami: wymiar fraktalny, wymiar pudełkowy (box dimension) albo wymiar pojemnościowy.

5.1. Wymiar fraktalny

Niech interesujący nas obiekt geometryczny F będzie zanurzony w n-wymia-rowej przestrzeni euklidesowej, na przykład dla n = 2 lub 3. Pokryjemy go zbiorem kostek o bokach równych e: odcinków dla n = 1, kwadratów dla n = 2, sześcianów dla n = 3. Mogą to być kostki takie jak na rysunku 5.1 albo dowolnie zorientowane względem osi układu współrzędnych, mogą to być kule lub inne wypukłe bryły o średnicy e. Niech N_e(F) będzie minimalną liczbą kostek niezbędnych do nakrycia całego obiektu F. Jeżeli F jest odcinkiem gładkiej linii, to liczba kostek jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do długości boku