DSC07382

182

Krzywe stożkowe

Po podstawieniu danych z zadania otrzymamy

y = * + 6.

b) Wykorzystamy następujący fakt: prosta (nierównolegla do osi paraboli) jest styczna do paraboli wtedy i tylko wtedy, gdy ma z nią tylko jeden punkt wspólny. Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma postać y = m(x — 3), gdzie m 6 R. Z drugiej strony stwierdzenie: prosta y = m(x — 3) ma tylko jeden punkt wspólny z parabolą y = x^J — -Iz + 5 jest równoważne zdaniu: układ równań

f y = m(z —3), t» = x^a-4x + 5

ma tylko jedno rozwiązanie. Po prostych przekształceniach otrzymamy układ równoważny | y = m(x-3),

l (m³ — 1) x^a + (4 — 6m^a) x -f (9m³ -I- 5) =0.

Układ ten będzie miał jedno rozwiązanie, gdy wyróżnik równania kwadratowego (z niewiadomą x i parametrem tri) będzie równy 0. Parametr m powinien zatem spełniać warunek

A = (4 - 6m³)- — 4 (m³ - l) (9m^a + 5) = 0.

Łatwo sprawdzić, że tylko liczby

3    3

m ---=, m — ——

2\/2    2y/2

spełniają ten warunek. Poszukiwane styczne mają zatem równania 3x + 2i/2y + 9 = 0,    3x — 2v/2j/ + 9 = 0.

c) Ponieważ styczne do paraboli mają być prostopadłe do prostej x + 3y + 12 = 0 ° współczynniku kierunkowym więc powinny być postaci y = 3x + b = 0, gdzie b £ ”■

Wiadomo, że równanie stycznej do paraboli y² = 2pz wystawionej w punkcie (xtiV>) paraboli ma postać

yyi =p(x + x j).

Przyjmując w tym równaniu p = —3 otrzymamy

yyi = —3 (z — ii).

Porównując oba równania stycznej:

y = 3x + b, y = ~^~x - —

Vi 1H

oraz korzystając z Taktu, że punkt    należy do paraboli y³ = —6ż, otrzymamy

układ równań    , '

= 3,

yi; I

(s«)^a = -6*1.

Rozwiązaniem tego układu jest trójka:

H .. .Mb , . I 1 g^ = -6’ »W ^{6 =} -^

Równanie szukanej stycznej ma zatem postać

6*g2y-^=°.

d) Niech parabola ma równanie y⁷ = 2pz. Wtedy jej kierownicą jest prosta * = — jp Ponadto niech P =    będzie dowolnym punktem kierownicy oraz niech /U, Aj

będą punktami styczności prostych wychodzących z P i paraboli. Pokażemy, że proste PA|, PAj są prostopadle. W tym celu wystarczy sprawdzić, że współczynniki kierunkowe tych prostych mają iloczyn —1. Prosta przechodząca przez punkt P ma równanie.

y - i/o = m H + H ,

gdzie m £ R. Można przyjąć, że m jć 0, gdyż prosta y = yo nie jest styczną paraboli.