egzamin1 2

Egzamin/ matematyki (termin I) - 2.02.2011

bi jekcji / : A -> 13 jes , która ma następujące właściwości:

Wersja A

Zad.la. Uzupełnij: Funkcją odwrotną do bijekcjif \A -*B jest z definicji taka funkcja (oznaczona /'),/' ^:

b.Oblicz z uzasadnieniem:

f

<g arctg

'4jr

( ■

cosi arcsin — | =

arccosl cos

H-

o. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = ln(x — 1)i znajdź dowolną metodą funkcję odwrotną, podj- jej wzór / '(x) = i dziedzinę

Zad.2a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa I rodzaju. Podaj odpowiednie wzory definicyjne i zrób dwa rysunki.

b. Ibadaj czy istnieje pole figury nieskończonej zawartej pomiędzy wykresem funkcji/(x) = ——j- , osiąOi oraz prostą x = -l (dla x£-l). Zrób rysunek

Wersja B

a_n=(^ĄJl±lT'

Zad. la. Oblicz granicę ciągu V 4/14-9,1

b.    Oblicz pochodną f ^ dla funkcji /W = V4x-l _{korz taj}    .

pochodnej funkcji w punkcie, a następnie sprawdź wynik stosując odzieli.

wzory

1

J arclgx dx

c.    Oblicz całkę -•    , skomentuj otrzymany wynik

Zad. 2a. Stosując metodę zerojedynkową wykaż zasadę kontrapozycji.

b. Omów jej zastosowanie w twierdzeniu zwanym, W.K. (warunkiem koniecznym) różniczkowalności funkcji w punkcie (podaj to twierdzenie w formie implikacji) i wyciągnij wnioski dotyczące ewentualnego istnienia pochodnej dla funkcji

sin 3x ,,    ,

—— dla x < 1

/(*) =

3x4-1 dla xe[l,2] x²4-3 dla x >2

, w punktach ^Xo1    ^

(2x4-6)*

Zad.3a. Oblicz granicę ciągu

(5n + 4^

^a" ”[5/1+6;

i

b.trlizz pochodną /'(O dla funkcji /(x) = v 3x 4-2 korzystając z definicji fW-rzfe pochodnej funkcji w punkcie, a następnie sprawdź wynik stosując odpowiednie    ^ ’/

q( — Y*P ^X

c. Wyznacz przedziały monotoniczności 1 ekstrema funkcji ^J    . Wyniki

przedstaw symbolicznie na osi liczbowej

Zad.3a. Wyjaśnij co to jest całka niewłaściwa II rodzaju. Podaj odpowiednie

wzory definicyjne i zrób dwa rysunki.

b. Zbadaj czy istnieje pole figury nieskończonej zawartej pomiędzy wykresem f(x) =-^-

(2* + 6)²    0x ___________- x = -3. x = 0

a.Oblicz całkę jarcsmX dx , skomentuj otrzymany wynik

i#

funkcj i

, osią ^UX _oraz prostymi

. Zrób rysunek

Zad.4a. Uzupełnij: Funkcją odwrotną do bijekcji fjest z definicji taka

r\ . r -

funkcja (oznaczona ^J ) , b. Oblicz 2 uzasadnieniem

, która ma następujące właściwości:

Zad.4*.Stosując metodę zerojedynkową wykaż zasadę kontrapozycji.

b.Omów jej zastosowanie w twierdzeniu zwanym W.K. (warunkiem koniecznym)

istnienia ekstremum (podaj to twierdzenie w formie implikacji) i wyciągnij

wnioski dotyczące ewentualnego istnienia ekstremum dla funkcji f(x)=xe* w punktach x₀₁ = -2, x_m = 0, x_w = 1

sin arcsin sin^arccos

-D-

przedstaw symbolicznie na osi liczbowej

jawcęi-yjrtf/* - J G*C ^

V    C ^ I    -jA-f    (-/0'A\    ^C

jc.o-C-J    ~ owe i I Vv Y" • X" — \    ^ 0* X    ^ ' ¹' - A

_t |^T    -    J7^V'

fv--* I ^    ¹⁴    - 4-S *<-

=. Naszkicuj wykres funkcji /<*> = arccos(x ₊ l) _{A znajdż} dowolną metodą funkcję

^4;    , A    r^l(r\ =

- -A ^ i, odwrotną, podaj jej wzór    i dziedzinę