Image51

a

100

Funkcja Lagrange’a

i-

L= E_t- E_p,

stąd równania Lagrange’a II rodzaju przyjmują postać:

d dL	dL	£ "a |*^$ II
dl dxs
d dL	dL	d r/
dt dys	^dy.	= it^C(M*
d dL	dL	d _
dt d(p	dcp	dt ^C(m‘^rf

t(»>i + ™₂) JĆJ = 0,

0,

= 0.

L

n

y

i

|

I

Wobec tego

0,

o,

<p

0.

Stąd wynika, że układ obraca się jednostajnie dookoła osi, a równocześnie środek obrotu przesuwa się ruchem jednostajnym w płaszczyźnie (x, y).

2.40. Funkcja Lagrange’a wynosi

L = ~ m (x² + y²) = ^ m (r² + r²cp²).

<P

Koralik ma jeden stopień swobody, więzy sprowadzają się do warunku cu = const, tj.

L = ^ m (r² -h co²r²).

Stąd równanie Lagrange’a daje

r - co²r = 0.

Całka ogólna tego równania ma postać

r = C_l e°* + C₂

co po uwzględnieniu warunków początkowych daje:

r = — sin/i (ot),

O)

v = v_a cosh ((ot).

2.41. Funkcja Lagrange’a we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje postać

1

L = - m (x² -f y^L + z²)

'.2

,*2

-    (*. y, z),

stąd

dL

dx

dE

p _

dx

= F_Tt

d (dL

mx.

dt \dx

Podstawiając te wyniki do równania Lagrange’a otrzymujemy

mx = F_x.

Postępując podobnie dostaniemy dwa pozostałe równania.

2.42. Wykorzystamy związek między pracą a energią potencjalną. Oznaczmy przez h_x położenie powierzchni cieczy względem dna naczynia - przyjętego za poziom odniesienia.

Wtedy

o

= (mg

Vpg) dz + mg dz = mgh — Vpgh_l < E

gdzie: V - objętość ciała,

r r    •

p - gęstosc cieczy.