Image62

122

122

gdzie: r e

(p e [O, 2rc], z e [O, h].

-f z'²) dm

-f z'²) dx' dy' dz' =

zR

2n h ~h

j j j ^    ^ ^r d(p dz = ^ m + h²

0 0 0

= p

(x'² + y'²) dx' dy' dz' =

t 2

zR

2k h h

3 m

nR²h

r³ dr d(p dz

0 0 0

3

15

m R

2

Środek masy znajduje się na osi stożka, w odległości a = - h od wierzchołka.

4

Korzystając z twierdzenia Steinera ostatecznie dostajemy:

d. Środek masy pokrywa się z geometrycznym środkiem elipsoidy, a osie główne z jej osiami. Całkowanie po elipsoidzie można sprowadzić do całkowania po kuli jednostkowej, wprowadzając uogólnione współrzędne sferyczne:

x = a r cos(p sin0, y = b r sin(p sin6>,

z

c r cos0,

w którym równanie elipsoidy

a

1

a prostą postać

1.

Nowe zmienne r, O, (p przyjmują wtedy wartości

1,

0

<9

0

<P

2tc,

a elementarna masa

dm — — dx dy dz = -—— abcr² sin(9 dr d@ d(p

V    4nabc

3 m 4n

r² sin<9 dr d<9 d<p,

gdzie objętość elipsoidy obliczyliśmy ze wzoru:

i K 2k

V =

abcr² sin<9 dr d& dq> =

0 0 0

^ 7infec.

3

Zatem moment bezwładności względem osi x jest równy

4 = p

(y² + z²) dx dy dz =

1 TC 2 TC

3m

47C

(b²r² sin²<p sin^z<9 -f

ooo

m

+ c²r² cos²<9) sin® r² dr d@ dcp = — (b² -I- c²).

Licząc analogicznie, otrzymujemy

m

h = 5 (a^z + c²),

/, = " (a² + fc²)-

e.

2m D⁵ - d⁵

T D³ - <i³