img072

momentów bezwładności poszczególnych figur składowych względem tych samych osi, układu osi lub punktu. Wykorzystuje się w tym celu zależności (wzory), określające momenty bezwładności poszczególnych figur względem osi przechodzących prze^ środki ciężkości tych figur (por. tabl. 14-6) oraz odpowiednio wzory (5-8) -f-(5-11).

Przykład 5-4. Określić momenty bezwładności względem osi środkowych głównych przekroju trójkątnego, pokazanego na rys. 5-9.

Położenie środka ciężkości przekroju, momenty bezwładności względem osi x₀, y₀ oraz moment bezwładności odśrodkowy względem układu tych osi są znane (por. tabl. 14-6) Momenty te wynoszą:

I_x v = *o>o

12-18³ 36

18-12³ 36 12²•18² 72

ah³

I_x = — ^x° 36

ha³

'~36~

a²h²

12

= 1944 cm⁴,

= 864 cm⁴,

= -648 cm⁴.

Położenie osi środkowych głównych wg w'zoru (5-6):

21 _x _    2( — 648)

tg2 <p₀ = —= — -- = 1,200.

⁰ Iy₀~I_X0 864-1944 2ę₀ = 50=12', ę₀ = 25°06', cos cp₀ = 0,906,    sin <p₀ = 0,424, sin 2ę>₀ = 0,768.

Momenty bezwładności względem osi środkowych głównych — wg wzorów (5-12) i (5-13):

h₀₉ = ^x₀ ^cos2 <Po + Iy₀ sin² (p₀ - I_XQy₀ sin 2<p₀ =

= 1944• 0,906² + 864 0,424²-(-648)-0,768 = 2249 cm⁴,

Iy_0g = Iy₀™s²<p₀ + I_Xosin²<p₀ + I_Xoyosm2<p₀ =

= 864■ 0,906²+1944-0,424² + (-648)-0,768 = 559 cm⁴,

Otrzymane wartości momentów bezwładności spełniają warunek (5-7)

/ +/ = /    +/    = 1944 + 864 = 2249 + 559 = 2808 cm⁴ = const.

^x0 >0 ^x0g >0g

Spełnienie tego warunku stanowi kontrolę poprawności otrzymanych wyników obliczeń.

Przykład 5-5. Określić położenie osi środkowych głównych przekroju jak w przykładzie 5-1 (por. rys. 5-4) oraz obliczyć momenty bezwładności względem tych osi.

Współrzędne środka ciężkości przekroju wynoszą (por. przykład 5-1):

x_c - 6,62 cm, y_c — 6,92 cm.

Najpierw można obliczyć momenty bezwładności względem osi i układu osi x, y, uwzgk’^' niając podział przekroju na dwie figury (prostokąt i trójkąt) oraz wartości momento" bezwładności tych figur względem ich osi środkowych lub przechodzących przez podstawy (P°^r' tabl. 14-6). Otrzymuje się (rys. 5-10):

	10-15^3		6-15^3
/ =		+	—	= 12937		cm ,
^1x	3		12
	15 10^3		15 - 6^3	1					570 cm^4,
I =		+		H---	15-	6-	12^1 =	11
^Ay	3		36	2
			6	^2 • 15^1		1			•5 = 8213
j	= 10-15■	5-	7,5--		■ +		•615-	12
				72		2

h-A8

Rys. 5-10

Momenty bezwładności względem osi środkowych można obliczyć na podstawie wzorów (5-9)-=-(5-11). Otrzymuje się (pole powierzchni przekroju A = 195 cm¹):

I_Xo = l_x-Ay¹c= 12937-195-6,92¹ = 3599 cm⁴,

I_yo =l_y-Ax\= 11 570-195-6,62¹ = 3024 cm⁴, h₀y₀ = /^-/lx_cy_c = 8213-195 • 6,62 - 6,92 = -720 cm⁴.

Położenie osi środkowych głównych wg wzoru (5-6):

2( — 720) 3024-3599

sin2ę>₀ = 0,929.

2,504,

(p₀ = 34"07' cos q>o = 0,828,

Momenty bezwładności względem osi głównych środkowych można obliczyć na podstawie wzorow (5-!2) i (5-₁₃). Otrzymuje się:

^Ijco_g ~ ^oCos^o + ^sin^o-Vo^sin2^° ⁼

= 3599 • 0,828¹ + 3024 • 0,561¹ -(- 720) • 0,929 = 4088 cm⁴,

^Iyog ⁼ !y₀ cos¹ <p₀ + I_XQ sin¹ cp₀ + I_XQyo sin 2ę>₀ =

= 3024• 0,828¹ + 3599 0,561¹ +(-720) 0,929 = 2537 cm⁴.

129

^Mecl»mka konstrukcji

1

I_x t

tg2<P₀ =

²>'o ^l*o 2q>₀ = 68° 14',

sin<p₀ = 0,561,