img087 3

Egzamin pisemny z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

ZADANIA

Zad.Zl [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć

J yxdx + xdy,

L

gdzie L jest lukiem elipsy \x¹ + y² — 4 skierownym ujemnie.

Zad.Z2 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Obliczyć masę luku krzywej L : y = 2y^/x, x £ [0,3], której gęstość wyraża się wzorem:

otav) = f ■

Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Napisać równanie prostej binormalnej i płaszczyzny ściśle stycznej do krzywej o równaniu f(t) = [ 3 cos t — 2t, sin 2t + 3f, e^ł + 1 j

w punkcie M₀ odpowiadającym t₀ = 0. Czy punkt Mo jest punktem spłaszczenia krzywej

r(t) ?

Zad.Z4 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć /(³²*(2) dla funkcji f(x) = —----.

X¹ — 4x + 8

Zad.Z5 [9p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]

Niech

,, , f Cx³    z € (0,2)

^{/(l) =} {o    x (0,2)

będzie gęstością rozkładu zmiennej losowej X . Wyznaczyć stałą C. Znaleźć wzór na dystrybuantę zmiennej losowej X . Obliczyć P(X < 1) oraz EX i D²X.

Max. 40 pkt

TEORIA.-“

Zad.Tl [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać definicję pochodnej kierunkowej funkcji, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć pochodną funkcji f{x,y) = y/x² + y² w punkcie (0,0) w kierunku wektora 5= [^,— ^]. Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

(n- 1)!

Korzystając z warunku koniecznego zbieżności odpowiedniego szeregu liczbowego wykazać, że

lim

.co 3n"+>

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

o° xⁿ

Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu potęgowego. Dana jest funkcja f(x) = YL -■

n=i 2ⁿ n

= 0.

Funkcję f'(x) przedstawić w postaci szeregu i obliczyć jego sumę.

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Podać trzy własności wartości oczekiwanej zmiennej losowej. Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego z parametrami n = 10 i p = 0,5. Obliczyć EX, D²X. Podać wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 1 — 2X.

Zad.T5 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Zmienna losowa X ma rozkład N{ 15, 2). Za pomocą tablic obliczyć P(\X — 13| < 5)..

Max. 20 pkt