lastscan47 2

Przeciętną stopę oprocentowania ciągłego wyznaczamy z równania

Pcxp{r_ęn) = />exp{ £ r^),

J-1

otrzymując

i

(3.5!

n

Z wyprowadzonego wzoru wynika następujący ważny wniosek.

-:_

Przeciętna stopa oprocentowania ciągłego jest średnią arytmetyczną stóp oprocentowania ciągłego zmiennych w czasie.

Przykład 3.23

Bank A proponuje 5-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym, przy czyn w pierwszym roku stopa wyniesie z*¹’ = 6,1% i będzie się zwiększać o 0,25 punktu procentowego w' każdym następnym roku. Bank B również proponuje lokatę 5-letnią. lecz jest to lokata o stałym rocznym oprocentowaniu 6.7%. Która z lokat jest korzystniejsza z punktu widzenia klienta banku?

Obliczamy według w-zoru (3.55) przeciętną roczną stopę oprocentowania ciągłego lokaty w banku A

6,1%+ 6,35%+ 6,6%+ 6,85%+ 7.1% r_c =---= 6.6%.

Dla powyższej stopy wyznaczamy równoważną stopę oprocentowania rocznego z równania

1 + r = e⁰⁰⁶⁶

i otrzymujemy r = 6.82%. Jak widać, lokata w banku A z odsetkami naliczanymi w sposób ciągły jest korzystniejsza - przeciętna roczna stopa wzrostu wartości tej lokaty jest większa o ponad 0,12 punktu procentowego niż lokaty w banku B. Dodatkowo możemy sprawdzić, że w^f ciągu 5 lat lokata w banku A zwiększy się o e^{3 6,6}‘* — 1 = 39,10%, podczas gdy lokata w banku B o (I +0.067)⁵— 1 = 38,30%.

3.8. Dyskontowanie składane

Pojęcie dyskontowania wartości kapitału wprowadziliśmy w rozdziale 1. traktując dyskontowanie (rzeczywiste) jako działanie odwrotne do oprocentowania. W tym miejscu pojęcie dyskontowania zachowuje swój ogólny sens. / tym że o ile obliczenia związane z dyskontowaniem prostym wynikały z procedur obliczenio

jych dotyczących procentu prostego, o tyle obliczenia związane z dyskontowaniem tludanym wynikają z procedur obliczeniowych oprocentowania składanego.

Dyskontowanie (rzeczywiste) składane polega na obliczaniu wartości kapitału oczątkowego P na podstawie znanej wartości kapitału końcowego F dla ustalonego easu oprocentowania n przy znanych warunkach oprocentowania składanego, lyskonto składane jest wartością, o którą należy pomniejszyć F. aby otrzymać P. Kskonto składane oznaczamy symbolem D.

Omawiając dyskontowanie składane, ograniczamy się do przypadku kapitali-Bcji rocznej oraz ciągłej, pozostawiając Czytelnikowi sformułowanie modelu ilpowicdniego dla kapitalizacji podokresowej.

! Z równania (3.1) modelu oprocentowania rocznego wwnika, że zależność .irtości kapitału P od znanej wartości F ma postać

(3.56)

P = F{\ + r)~".

koro dyskonto D jest wartością, o którą należy pomniejszyć F w celu :ymania P, to

D = F-P = F—F( \ + r)“\

(3.57)

nania (3.56H3.57) nazywamy modelem dyskontowania rocznego, zakładając ;y tym. że F > 0. r > 0 oraz - ze względu na roczny okres kapitalizacji - że inna czasowa przyjmuje wartości n € N.

Z równania (3.20) modelu oprocentow-ania ciągłego wynika, że zależność ości kapitału P od znanej wartości kapitału F ma postać

(3.58)

p = F c~^r*\

onto zaś w tym przypadku wynosi

(3.59)

yższe zależności (3.58M3.59) stanowią model dyskontowania ciągłego, przy ym F > 0. r_c > 0 oraz ne R'.

Porównując wartość dyskonta składanego i odsetek składanych, bez trudu ważamy, że - zarówno przy kapitalizacji rocznej, jak i ciągłej - zachodzi ość

(3.60)

D = /,

ięc dla dyskontowania składanego można sformułować analogiczny wniosek jak dla dyskontowania prostego.

⁹ Czytelnik zapewne pamięta, tc ten sam symbol D w rozdziale I odnosił się do dyskonta zywistego prostego, a w rozdziale 2 do dyskonta handlowego prostego.

103