lastscan8

Stopy oprocentowania prostego są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy są

proporcjonalne.

Bez trudu można sprawdzić, że formalny warunek równoważności większej liczby podokresowych stóp oprocentowania prostego ma postać

:ik =

1

^2

(1.15)

Ponadto można łatwo zauważyć, że równoważność stóp oprocentowania prostego jest przechodnia, ponieważ jeśli stopa i_kl jest równoważna ktopie i_kj, a stopa i_kj jest równoważna stopie i_ki, to stopa i_kl jest równoważna stopie i_k).

Przykład 1.8

Półroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i₂ = 18%. Obliczymy równoważną stopę miesięczną, 13-dniową i 2-letnią, a następnie przy użyciu każdej z nich obliczymy odsetki proste od kapitału 400 zł za czas 3 lat \

W celu obliczenia każdej z równoważnych podokresowych stóp oprocentowania prostego skorzystamy z wzoru (1.13). przyjmując ¹, = 2 oraz i_4l = 18%. Podokrcsowi miesięcznemu odpowiada parametr k = 12, 13-dniowemu k — 360/12, a 2-letniemu k = 1/2. Równoważna miesięczna stopa oprocentowania prostego wynosi zatem

ii 2 = -jy¹ 18% = 3%,

stopa 13-dniowa wynosi

•wi/ij ⁼    ' 18% — 1,3%,

a stopa 2-letnia

i,n =    18% = 72%.

Równość (1.15) jest dla powyższych stóp spełniona, ponieważ

1    1    1    1    180    30    13    720

2^:~\2^: 360/13 ^:7/2 ” 360 ¹ 360 ¹ 360 ’ 360 ¹

a także

180    30    13    720

360 ^: 360 ‘ 360 ' 360

ij: i',2: /360/13: i\n = 18% : 3% : 1.3% : 72%

Do obliczenia odsetek mi n \ latii użyjemy wzoru (I H), /mniemając najpierw zgodnie /Cl .7) czas oprocentowania na podokresy półroczne, miesięczne.

13-dmowc i 2-lctnie. Dla kolejnych wariantów otrzymujemy

m₂ = 3 • 2 = 6, m,₂ = 3 • 12 = 36,

3-360

13

1080 13 ’

m,_/2 = 3 • 0.5 = 1.5.

więc 3-letnie odsetki proste obliczamy przy użyciu każdej z powyższych stóp jako / = 400 • 18% • 6. / = 400 -3%- 36.

1080

/ = 400 • 1.3% —jj—, / = 400 -72%- 1.5.

ywiście, w każdym przypadku kwota odsetek jest równa 432 zł, ponieważ stopy zastosowane do obliczeń są stopami równoważnymi.

■

W praktyce często występuje potrzeba obliczenia rocznej stopy r równoważnej kresowej stopie i, albo. na odwrót, obliczenia stopy i_k równoważnej stopie r. W celu zapisania wzorów odpowiednich dla tych szczególnych przypadków wiamy we wzorze (1.12)

k\ - 1, /*, = r oraz k₂ = k, i_ki = i_k,

ymując

r = ki_k    (1.16)

ctraz

it = j.    (U7)

/ powyższych wzorów wynikają następujące wnioski.

Mnożąc podokresową stopę /* przez odpowiadający jej parametr k. otrzymamy równoważną roczną stopę r.

Dzieląc roczną stopę r przez k. otrzymamy podokresową stopę równoważną dla podokresu, którego długość jest równa 1 Ik roku.

Zauważmy jeszcze, że z porównania wzorów (1.12) i (1.16) wynika, iż badanie równoważności stóp oprocentowania prostego i_k| oraz i_kj przy użyciu warunku (1.12) w istocie sprowadza się do sprawdzenia, czy roczne stopy równoważne każdej zc stóp podokresowych są równe.

25

1

W obliczeniach zastosujemy bankowy rachunek czasu, według którego kaidy miesiąc liczy 30 dni. a rok 360 dni (puc. dodatek A).