Matematyka 10 (1)

?!±

'**§

'♦*§

Inne przydatne wzory

. .. a + 3    a-B

sin a + sin B = 2 sin-— cos-—

2 2

. . a + J3 a - B cos a + cos p - 2 cos-— cos-—

.    « + y3 . a-p

sin a - sin o = 2 cos-—sin-—

2 2

„    . . « + /? . a-p

cosa - cosp = -2sin-—sin-—

,    _ o *

1 + cos a = 2 cos -

1-cosa = 2sin

tga + tgP -■

sin(a + P) cos a cos/?

tga - tgfi =

sin(a - /?) cos a cosp a

6. Funkcje trygonometryczne

6.1 Miara lukowa kąta.

Istnieją różne sposoby mierzenia kątów: marynarze za czasów Kolumba mierzyli kąty w rumbach (1 rumb =J^₂kąta pełnego) , artylerzyści mierzą kąty w „tysięcznych” (jedna „tysięczna” jest kątem pod jakim widać przedmiot o wysokości lm z odległości 1 km), w geodezji używa się gradów (jeden grad jest to J^qq kąta prostego). Najczęściej używaną

miarą kąta jest stopień (jeden stopień jest równy ^(,0 kąta pełnego).

Wymienione wyżej sposoby mierzenia kątów mają pewną niedogodność . Otóż długości odcinków i wielkości kątów mają różne jednostki, co więcej, bywają zapisywane w systemach nie dziesiętnych, a przede wszystkim miara kąta nie ma powiązania z miarą długości.

Rozwiązaniem tego problemu jest miara łukowa kąta. Opiera się ona na obserwacji, że przy ustalonym promieniu wycinka kołowego, jego kąt środkowy a jest wprost proporcjonalny długości łuku l (patrz: rysunek niżej).

Miarą kąta a zawartego między promieniami wycinka kołowego o długości / i promieniu r

nazywamy liczbę — . Jednostkę tak zdefiniowanej miary nazywamy radianem. Zatem r

Czytelnikowi łatwo sprawdzić stosując znany ze szkoły wzór na długość łuku okręgu, że kąt

7T

prosty ma radianów, a kąt pełny 2n radianów. Co więcej, jeśli przyjmiemy długość

promienia r- 1, to miara kąta wyraża się tą samą liczbą, co długość łuku zawartego między ramionami tego kąta.

Aby zamienić miarę kąta w stopniach na miarę w radianach, stosujemy wzór:

a[rad\ =

n

18Ó⁷

•«n

Aby zamienić miarę kąta w radianach na miarę w stopniach, stosujemy wzór:

1