Matma koło 2 D

Matematyka 1. Kolokwium 2. Grupa D.

1.    Rozwiązać równanie f(x) - f*(x + 7y²)f(y)dy = y/x.

2.    Uzasadnić, że w przestrzeni R² funkcja (xi,x₂)°(2/i,J/2) = 5xiyi -2a:iy₂-2x₂yi+3x₂y2 jest iloczynem skalarnym. Znaleźć dowolną bazę ortonormalną w R² względem tego iloczynu.

3.    Dla procesu Wienera W_t obliczyć

P(W₅>1 + 4W₂).

Wynik podać z użyciem funkcji <3?.

4.    Początkujący gracz trenuje z trenerem grę w pokera. Za wygranie partii otrzymuje lOOzł od trenera, przegrywając partię płaci lOOzł trenerowi. Jako, że jest to gra treningowa przy każdej utracie wszystkich pieniędzy gracz otrzymuje od trenera lOOzł na dalszą grę. Gra kończy się gdy kapitał gracza osiągnie 500zł. Gracz ma szansę 30% na wygranie pojedynczej partii i zasiada do gry z kapitałem lOOzł.

a)    Jeżeli stany łańcucha to kapitał gracza to ułożyć macierz przejścia.

b)    Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 3 partiach kapitał gracza wyniesie 200zł?

c)    Sklasyfikować stany pod kątem powracania, istotności, pochłaniania i znaleźć wszystkie właściwe zamknięte podzbiory stanów.

d)    Jakie jest w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że po 50 partiach kapitał gracza wyniesie 300zł? Odpowiedź uzasadnić w oparciu o własności łańuchów Markowa.