mech2 181

560

ty

Energia kinetyczna układu

1 .2 1 2

^s = T V ⁺ T ^m2 V

przy czym

+ y²,

x₂ = x + ł sinty,

X„ = X + ltyC06ty,

2    ^    p    2 2    ?

= Ci + Itycos ąT) + 1 ty ain cp ,

E=~m_>1±²+-^-m₂ Ci^ + 2Iż tycoe ty+ l² ty²). Energia potencjalna układu

U = gy₂ = ~m₂g 1 coa ty .

Napiszemy najpierw równanie Lacyange'a dla współrzędnej x

Jeżeli

to

_d_

dt

0E

_ OCE - U)

Sit

di

0,

= 0.

SU ₌ o 9J _ o

01    0X -

i + lty cos ty

_d_

dt

C^m1 + ^m2) ^{ł + m}2¹ ^ cos ty = C, przy czym. C jest stałą całkowania.

Otrzymane równanie wskazuje, że rzut pędu układu na kierunek poziomy jeBt stały (Jr^yi na układ nie działa żadna pozioma siła zewnętrzna). Wiemy, że pęd układu jest równy pędowi jego środka ciężkości, stąd wniosek, że Bkładowa pozioma pędu śx*odka ciężkości jest stała. Jeżeli znamy warunek początkowy, np. że składowa pozioma prędkości środka ciężkości jest równa zeru, otrzymamy:

o-o,

i +- m^l ty coa cp = 0,

stąd

m₂l(p cos <p m„ + m„

0)

Drugie równanie Lagrange'a:

jd_

dt

0(E - V)] _ 5Ce - u) _ _n

Sćp    ~ a«i    — ^u»

a <p

^a-(^E. ~    = M = n?¹* ^{C0B(p + D}?^l2 op >

of    o (sc    2    '

|| = -m₂l i ą» sin q> ,

= ®₂^{gL Blri} * *

Podstawiając otrzymamy

d    2 **\

(m₂lx cos tp+ m₂l + m₂l i qj sin cp + m^gl sincp = O.

Uwzględniając zależność (1) otrzymamy:

/m l<pcos²<p    \    lm₂    sin tpcos tpq>²

TT ( -’    +    l<p)    —    ~    —    +    g    sincp =    O .

dt V m₁    +    m₂    J    ^m1 ^{+ m}2

Po zróżniczkowaniu    i    przekształceniach dochodzimy    do    następującego równania

różniczkowego:

'^/m    + m„ sin²cp\

* l -^ + m₂^_) ^{1 + 6 Bia} 'P = ⁰ ‘ •

Zadanie rozwiązujemy zakładając, że wychylenie cp jest małe

2 ~ ■

sin cp= cp, sin cp = 0, wtedy    _{m L}

ns;⁺ 6 9=0,

rm. + m₀h g

’?+    ¹ _m    o.

Jest to równanie ruchu harmonicznego, w którym:

T = 2

„i/V

V e C^mi ^{+ m}2 } * .