Obraz6 2

74

2.2.3. Współczynnik korelacji cząstkowej oraz współczynnik korelacji wielorakiej

Dla przykładu rozważmy współczynnik korelacji cząstkowej między cechami X\ oraz X₂ definiowany następującym wzorem:

^rl2-3 ^_

-K,

(2.26)

gdzie:

7?i2» 7?i i, 7?22 ~ dopełnienia algebraiczne odpowiednich elementów macierzy korelacji R,

^12, Sn, S22 - dopełnienia algebraiczne odpowiednich elementów macierzy kowariancji S.

Jak z powyższego wzoru wynika, punktem wyjścia do obliczenia tego współczynnika są macierze R i S. Współczynnik korelacji cząstkowej r₁₂.3 informuje o kierunku i natężeniu korelacji miedzy cechami X] oraz X₂ po wyeliminowaniu tej części zmienności, która wynika z ich skorelowania z cechą X₂.

Należy pamiętać, że:

— 1 — ^ri23 — +1 •    (2-27)

Analogiczny (do wzoru (2.26)) wzór można podać w celu obliczenia pozostałych dwóch (r_ł32 oraz ^231) współczynników korelacji cząstkowej. Dla każdego z nich prawdziwa jęśt oczywiście relacja (2.27).

Analizując zalieżności korelacyjne między składowymi cechy trójwymiarowej, można postawić również inne pytanie: jaka jest zależność wybranej cechy od pozostałych cech rozważanych łącznie?

Odpowiedź na takie pytanie daje współczynnik korelacji wielorakiej. Załóżmy, że interesuje nas zależność korelacyjna cech Aj od pozostałych cech X₂ i X₃. Do oceny tej zależności wykorzystuje się współczynnik korelacji wielorakiej. Współczynnik korelacji wielorakiej oznaczamy symbolem R 1.23 i do jego obliczenia wykorzystamy macierz korelacji, otrzymując wzór:

(2.28)

gdzie:

\R\ - wyznacznik macierzy R,

R_n - dopełnienie algebraiczne odpowiedniego elementu macierzy korelacji R.

Ta miara współzależności spełnia następującą relację:

0<ą.₂₃<l.

Współczynnik korelacji wielorakiej Ri.₂3 informuje o natężeniu lą ym wpływu cech X₂ i X₃ na cechę Xj. Należy pamiętać, że nie interpretuje się . n il -współczynnika korelacji wielorakiej.

Analogiczny (do wzoru (2.28)) wzór można podać w celu obliczenia pi ■ stałych dwóch współczynników korelacji wielorakiej: R₂._]2 oraz R_2Ą2. K .1 1 z nich spełnia relację (2.29).

Przykład 2.5

Badano zależność w zbiorze następujących trzech cech:

X\ - wydajność pracy robotnika,

X₂ - wiek robotnika,

X₂ - staż pracy robotnika.

Na podstawie danych dotyczących zbiorowości robotników pewnego pi ■ I siębiorstwa otrzymano następującą macierz korelacji:

1    0,5    0,8

R =

0,5    1    0,4    .

0,8    0,4    1

a)    Określić współzależność wydajności pracy i wieku robotników, po ■ eliminowaniu tej części zmienności tych cech, która wynika z ich skorclow.m. ze stażem pracy. Współzależność taką można określić wykorzystując w.p> 1 czynnik korelacji cząstkowej:

-R,₂    0,5-0,8-0,4

r_p.₃ = ———= —=== ~ 0,33.

Jr_u-r₂₂ V⁰’⁸⁴ • 036

Powyższy wynik oznacza, iż korelacja pomiędzy wydajnością i wiekiem, pi wyeliminowaniu związku ze stażem pracy, jest słaba, dodatnia.

b)    Ocenić współzależność pomiędzy wydajnością pracy i stażem pnu v. ■ l>

minując wpływ wieku robotników. W tym przypadku chodzi o wspólc/y......

korelacji cząstkowej:

0,76.

-R_n (0,2-0,8)

¹³ 2 ~~ r ^33 ~ V⁰’⁸⁴ •⁰’⁷⁵