Obraz0 2

162

162

Przedział liczbowy dla średniej miesięcznych wydatków na żywność gospodarstw tego regionu ma więc postać <577,06; 671,24). Z wysokim poziomem ufności możemy wiec twierdzić, że średnia wydatków na żywność gospodarstw domowych w tym regionie mieści się w uzyskanym przedziale.

Przyjmijmy, że dla innego regionu Polski przedział liczbowy dla średniej miesięcznych wydatków na żywność znajdujących się tam trzyosobowych gospodarstw domowych ma postać (676,27; 772,41), gdy odchylenie standardowe jest równe 245,26 zł. Oba przedziały ufności nie mają wspólnych punktów. Na tej podstawie możemy wiec wnioskować, że średnia miesięczna wydatków na żywność w drugim regionie jest inna niż w pierwszym regionie. Wnioskowi temu odpowiada wysoki stopień ufności.

5.3. Przedział ufności dla wariancji

Przedział ufności dla wariancji w wypadku małej próby (n < 30)

Przyjmijmy, że strukturę interesującej nas zbiorowości statystycznej pod względem cechy X opisuje rozkład normalny N(m, o). Nie znamy ani średniej wartości cechy, ani stopnia zróżnicowania jednostek statystycznych pod względem tej cechy mierzonego wariancją. Przyjmując poziom ufności równy (1-a), chcemy zbudować przedział ufności dla wariancji. W tym wypadku chcemy określić na podstawie próby współrzędną punktu końcowego oraz współrzędną punktu końcowego przedziału, który pokryje nieznana wartość parametru z zadanym poziomem, ufności, czyli że spełniona będzie nierówność:

(5.21)

W tym celu wykorzystamy zmienną losową chi-kwadrat, której dystrybuanta rozkładu jest stablicowana, oraz wprowadzone estymatory wariancji zbiorowości statystycznej. Między wprowadzonymi estymatorami a zmienną losową chi-kwadrat istnieje ścisły związek, co wyraża wzór:

(5.22)

Zmienna losowa (5.22) podlega rozkładowi chi-kwadrat o (n- 1) stopniach swobody.

Przyjmując współczynnik ufności (1-a), do określenia współrzędnych końców przedziału ufności dla wariancji wykorzystamy następującą relację:

P(cj <x² <c₂) = l-a.    (5.23)

Aby wykorzystać dostępne tablice rozkładu zmiennej losowej chi-kwadrat do określenia wielkości ci oraz c₂, wprowadzimy następujące zależności:

,    a

P(X²>c_]) = l-~,

(5.24)

,    a

P(X²>c₂) = ~.

Po ustaleniu wartości C\ oraz c₂ nierówność pod znakiem prawdopodobieństwa we wzorze (5.23) zapiszemy w postaci:

Ż(X,-X)²

c,<-a---<c₂.    (5.25)

a

Rozwiązując powyższą nierówność względem wariancji, otrzymujemy:

t(Xi-xf

id-<<j² <—-.    (5.26)

^C2    ^C1

Tak więc współrzędna punktu początkowego przedziału ufności dla wariancji wyraża się wzorem:

t(X,-X)²

5]=^J=^!-,    (5.27)

^C2

zaś współrzędna punktu końcowego ma postać:

t<-X,-

s) =id-.    (5.28)

‘i

Przykład 5.4

Na pewnym automacie produkowane są tabliczki czekolady. Producent twierdzi, że waga tabliczek czekolady jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu N(200, 2). Konsumenci twierdzą, że zróżnicowanie wagi tabliczek czekolady jest inne. Wykorzystując dane z przykładu 5.1, zbudować przedział ufności dla wariancji wagi produkowanych na tym automacie tabliczek czekolady, przyjmując współczynnik ufności równy 0,95.