49443 stata1

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Estymacja przedziałowa parametrów

• Przedział ufności dla średniej

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (p, a). Wartość średniej /i jest nieznana, odchylenie standardowe c w populacji jest znane. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Przedział ufności dla średniej p populacji otrzymuje się ze wzoru:

gdzie:

1-a    - jest prawdopodobieństwem, przyjętym z góry i nazywanym współczynnikiem ufności (w

zastosowaniach praktycznych przyjmuje się wartość 1-a >0,9) u_n - jest wartością zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym standaryzowanym

X - średnia arytmetyczna z próby obliczona wg zależności:

1 x^L

Wartość u_a dla danego współczynnika ufności 1-a wyznacza się z rozkładu normalnego standaryzowanego N(0, 1), w taki sposób, by spełniona była relacja:

P{-u_a<U<Ua} = 1-a

U_a jest taką wartością zmiennej losowej o rozkładzie normalnym standaryzowanym, że pole powierzchni pod krzywą gęstości w przedziale (-u_a, u_a) wynosi 1 -a, a pole pod krzywą gęstości na prawo od u,* i na lewo od -u,, wynosi po aJ2. £/_ajest można również wyznaczyć na podstawie dystrybuanty z zależności:

d>(ii_a) = l-(a/2)

(gdzie 0(«) jest dystrybuantą rozkładu normalnego standaryzowanego), korzystając z tablic rozkładu normalnego. (/_ajest nazywane kwantylem rozkładu normalnego.

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a). Nieznana jest zarówno wartość średnia p, jak i odchylenie standardowe a w populacji.

Z populacji tej wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n (n<30) elementów. Przedział

ufności dla średniej p populacji otrzymuje się wówczas z wzoru:

gdzie:

jest odchyleniem standardowym z próby.

Wartość t_a oznacza wartość zmiennej t Studenta odczytaną z tablicy tego rozkładu dla n-1 stopni swobody w taki sposób, by dla danego z góry prawdopodobieństwa 1-a spełniona była relacja:

P{-ta<t<U=l-a

Sposoby wyznaczania wartości t_a są podobne jak w modelu I.

Model III

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(|i, a) bądź dowolny inny rozkład o średniej /i i skończonej wariancji o² (nieznanej). Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym liczebność próby jest duża (co najmniej kilkadziesiąt). Wtedy przedział ufności dla średniej /r populacji wyznacza się ze wzoru jak w modelu I, z tą tylko różnicą, że zamiast er we wzorze tym używamy wartości odchylenia standardowego s z próby.

Zadanie 1

Wytrzymałość materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(p, a). W celu oszacowania nieznanej średniej jt wytrzymałości tego materiału dokonano pomiaru wytrzymałości na n=5 wylosowanych niezależnie elementach z tego materiału. Otrzymano następujące wyniki: 20.4, 19.6,22.1, 20.8,21.1

Przyjmując współczynnik ufności l-a=0,99 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości /r tego materiału.

Zadanie 2

Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników zatrudnionych przy obsłudze komputerów w Gliwicach. W tym celu, stosując losowanie nieograniczone, niezależne, wylosowano z populacji tych pracowników próbę liczącą n=100 osób i otrzymano następujące wyniki badania stażu pracy:

0-2	4
2-4	10
4-6	55
6-8	25
8-10	6

Przyjmując współczynnik ufności l-a=0.90 zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.

Zadanie 3

Oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym cr=120 godzin. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n=25 świetlówek, dała następujące wyniki pomiarów czasu ich świecenia w godzinach:

2630,    2820,    2900,    2810,    2770,

2840,    2700,    2950,    2680,    2720,

2800,    2970,    2680,    2660,    2820,

2580,    2840,    3020,    2780,    2920,

3060,    2840,    2550,    2790,    2850.

Przyjmując współczynnik ufności 0.98 oszacować metodą przedziałową średni czas świecenia świetlówek tej partii.