Obraz 5 4

192

Następnie na podstawie próby obliczamy wartość empiryczną sprawdzianu:

192

/i fi

u

Jeśli wartość empiryczna sprawdzianu należy do zbioru krytycznego, hipotezę o równości dwóch wskaźników struktury odrzucamy na przyjętym poziomie istotności a.

Przykład 6.10

Wysunięto przypuszczenie, że procent dzieci 9-letnich uczących się języka francuskiego jest w szkołach publicznych mniejszy niż w szkołach prywatnych. W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano z populacji 9-latków w szkołach publicznych 700 dzieci i okazało się, że języka francuskiego uczy się 190 spośród nich, natomiast wśród wylosowanych 380 dzieci pobierających naukę w szkołach prywatnych języka francuskiego uczyło się 170 dzieci.

Formułujemy hipotezę zerową Ho i hipotezę alternatywną H_u otrzymując:

Ho- Pi =Pi,

H\. p\ <p₂.

Zweryfikujemy .-hipotezę zerową na poziomie istotności a= 0,06.

Uwzględniając rozkład statystyki (6.30), hipotezę alternatywną oraz przyjęty poziom istotności, otrzymujemy zbiór krytyczny o postaci:

Z_n =    -1,56).

W celu wykonania obliczeń wprowadzimy następujące oznaczenia:

ni = 700,    n₂ = 380,

f\ = 190,    f₂- 170.

Uwzględniając wartości uzyskane z próby obliczamy wartość empiryczną sprawdzianu, otrzymując:

190    170

700    380    _

emp

u

Wartość sprawdzianu należy do obszaru krytycznego, więc na poziomie istotności a = 0,06 hipotezę o równości wskaźników struktury odrzucamy. Oznacza to, że frakcja uczniów uczących się języka francuskiego w szkołach publicznych jest mniejsza niż frakcja uczniów uczących się języka francuskiego w szkołach prywatnych.

6.5. Weryfikacja hipotezy o niezależności zmiennych losowych

Załóżmy, że strukturę zbiorowości statystycznej pod względem cechy dwuwymiarowej (X, Y) opisuje dwuwymiarowy rozkład normalny N(m_u Cj, <j₂> p). W tym przypadku składowe dwuwymiarowej zmiennej losowej podlegającej rozkładowi normalnemu są niezależne, jeśli współczynnik korelacji między nimi jest równy zero, czyli p = 0. Weryfikując na podstawie próby hipotezę o braku współzależności między cechami, hipotezę zerową i hipotezę alternatywną zapiszemy następująco:

(6.32)

H₀: p = 0, H\. p =£ 0.

Wybieramy poziom istotności a. W charakterze sprawdzianu hipotezy zerowej wybieramy zmienną losową definiowaną za pomocą wzoru:

r = -_,V^2,    (6.33)

VI-/?²

która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej podlega rozkładowi r-Studenta o (n-2) stopniach swobody.

Wielkość R we wzorze (6.33) jest estymatorem współczynnika korelacji w populacji o postaci:

Ż(X. -X)(y, -7)

^R=~fr^m

V (=1    i=i

Zbiór krytyczny sprawdzianu budujemy wykorzystując hipotezę alternatywną oraz poziom istotności, otrzymując:

Zk = -fo> U <*«.