Picture8

Rozdział 7

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

7.1. Definicje i twierdzenia

Układ iii równań liniowych o n niewiadomych zapisujemy w postaci ogólnej:

*11*1	+ .	• + "l ^=AI
*21 *1	+ .	■^+a2n^Xn =^b2
"ml*	+ .	=^b,„

lub w postaci macierzowej:

AX=B,    (7.2)

gdzie:

	"ll •			V		V
A =	&2\	'• ^a2n	II	...	II =q	...
	"ml '	" ^a»m_				-1 5 _i

A macierz współczynników, .V wektor niewiadomych,

II - wektor wyrazów wolnych;

'ml

Twierdzenie 7.1 (Kroneckcra-Capellego)

Układ m równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie wtedy i lylko wledy, gdy rząd macierzy współczynników jest równy rzędowi macierzy ii/u pełnionej (rzA = rz U).

1° Jeżeli ten wspólny rząd jest równy liczbie niewiadomych (r/.A u U- ii) to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

2° Jeżeli ten rząd jest mniejszy od liczby niewiadomych i równy / (rzA = rz U=r<n), to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów'.

3° W przypadku gdy rzędy macierzy A i U są różne (rz A * rz IJ), układ równań jest układem sprzecznym (nie ma rozwiązań).

Definicja 7.1

Układ n równań o n niewiadomych, którego macierz współczynników A jr .t kwadratową macierzą nieosobliwą, nazywamy układem Cramera.

Twierdzenie 7.2

Jeżeli układ równań (7.1) jest układem Cramera, to ma on dokładnie jedno rozwiązanie. Otrzymujemy je albo korzystając z macierzy odwrotnej:

X=A~'B,    (7.3)

albo za pomocą wzorów Cramera:

I l'i

u = [a\ d)

<*\n ^h\

U,,,    b-,

macierz uzupełniona.

(i =1,...,»),    (7.4)

gdzie \A,\ jest wyznacznikiem powstałym z wyznacznika \A\ przez zamianę /-lej kolumny kolumną wyrazów wolnych.