673060931

TWIERDZENIE 1.1. Układ wektorów (a, a₂ ..., a,.) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z tych wektorów jest liniową kombinacją pozostałych.

TWIERDZENIE 1.2. Każdy układ n + 1 wektorów przestrzeni R_n jest liniowo zależny.

Dowód drugiego twierdzenia jest automatyczny, jeżeli wiemy, że bazą przestrzeni wektorowej R nazywamy każdy układ n liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Baza rozpina przestrzeń. Każdy wektor tej przestrzeni można przedstawić, jako kombinację liniową wektorów tej bazy.

1.2. MACIERZE I DZIAŁANIA NA NICH

Układ m x n liczb (lub funkcji) a., zapisany w postaci tablicy

a>\    ar.    ...    a i.

ai\    d22    ...    a.,

0.1    0.2    ...    Om,

o m wierszach i n kolumnach nazywamy macierzą o wymiarach m x n.

Liczby a ., gdzie: i = 1, 2, ..., m, są elementami wiersza j macierzy, natomiast liczby a . dla j = 1, 2, ..., n są elementami kolumny i macierzy. Wskaźniki i oraz j informują, że element a., występuje w macierzy w wierszu o numerze / oraz w kolumnie o numerze j.

Dla oznaczenia macierzy będziemy używali półgrubych liter wielkich, takich jak: A, B, C. Możliwe będzie również przedstawianie macierzy za pomocą ich elementów w postaci symboli [a_y], [b_y], [c_y], gdzie zawsze; = 1, 2,..., m,j = 1,2,..., n.

PRZYKŁAD 1.6. Napisać macierz 3x3, której kolumnami są wektory, mające w postaci wierszowej postać: a^T = (2, 3, 4) i b^T = (1, O, 2), c^t = (1,3,2).

Wektory te, jako elementy macierzy przedstawia:

'2 1 1"

A= 3 O 3 .

4 2 2

16