pytania analiza

Wybrane zagadnienia z analizy matematycznej, III rok mat.

1.    Zbieżność ciągów monotonicznych.

2.    Twierdzenie o istnieniu granic jednostronnych funkcji monotonicznych.

3.    Punkty nieciągłości funkcji monotonicznej na przedziale.

4.    Twierdzenie Helly’ego o ciągu funkcji monotonicznych na przedziale (szkic dowodu)

5.    Twierdzenie o przedstawieniu funkcji rosnącej w postaci sumy funkcji ciągłej i skokowej (szkic dowodu).

6.    Funkcje o wahaniu skończonym: definicja, własności

7.    Przykład funkcji ciągłej na [0,1] o wahaniu nieskończonym

8.    Twierdzenie Helly’ego o ciągu funkcji o wahaniu skończonym (szkic dowodu)

9.    Definicja całki Riemanna-Stieltjesa na przedziale [a,b] względem funkcji rosnącej

10.    Sumy średnie Riemanna.

11.    Związek całki oznaczonej (Riemanna) z różniczkowaniem

12.    Całka Riemanna-Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym.

13.    Pierwsze twierdzenie o wartości średniej dla całek

14.    Całkowani^,vsAe przez części dla całek R-S

15.    Całkowanie przez podstawienie.

16.    Drugie twierdzenie o wartości średniej dla całek R-S

17.    Przechodzenie do granicy pod znakiem całki

18.    Twierdzenie Helly’ego o przechodzeniu do granicy w całce R-S.

19.    Warunki równoważne ciągłości funkcji na przestrzeni metrycznej

20.    Funkcje ciągłe na zbiorze zwartym.

21.    Twierdzenie Bolzano o funkcji rzeczywistej ciągłej na zbiorze spójnym

22.    Twierdzenie o zbieżności jednostajnej ciągu funkcji ciągłych.

23.    Twierdzenie Diniego

24.    Warunek Cauchy’ego jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego

25.    Twierdzenie Ascoliego

26.    Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Ascoliego

27.    Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

28.    Granica górna i dolna funkcji.

29.    Funkcje półciągłe- definicje, własności

30.    Twierdzenie Baira.