SA400227

fc

ACill - WYDZIAŁ IMiR ROK I E i IF EOZAM1N Z MATEMATYKI KRAKÓW 9 LUTY 2007

I a) Co to znaczy. ze (\inkcja y - f(x) jest lewostronnie cięgla w punkcie Xo7 b) Dobierz parametry o i b tak, aby flinkcja / określona wzorem

|3r * dla .r<0 /(*)■< 3/>    dla jc * 0

((l ł av)««» dla x > 0 była ciągła w punkcie xo • 0.

2 a) Podaj definicję pochodnej /'(•*») Korzystając z tej definicji oblicz pochodną

funkcji y - -7* w punkcie xo - 4 V*

b) Oblicz pochodną funkcji; y * urcig\4x — \ + x^x .

3    a) Podaj dwa twierdzenia dotyczące własności funkcji ciągłych.

b) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji /(*) = \]{x² +1)² na przedziale /- 2,3). Skąd wiemy, źe to zadanie posiada rozwiązanie ?

4    a) Podaj twierdzenie będące warunkiem wystarczającym na istnienie punktu przegięcia

wykresu ftmkcji w punkcie /^(jc₀ , y)).

b) Wyznacz przedziały, w których funkcja /(*) = x² ln x jest jednocześnie malejąca i wypukła ku ku górze.

5    a) Opisz sposoby obliczania całek postaci; J -rnw ....... w zależności od znaku

^J yax² +bx + c

współczynnika „a”.

_f 2x -1

b) Oblicz całkę nieoznaczoną; —======= dx.

^J V9x² -4

6 a) Podaj w formie twierdzeń dwie własności całki oznaczonej ( nie dotyczy działań arytmetycznych na funkcjach podcałkowy chi).

|

x²Jx

x² - 3*+ 2

b) Oblicz całkę oznaczoną:

7 a) Jak obliczamy pole obszaru zawartego między osią Ox i łukiem krzywej dla x € jeśli a ) krzywa opisana jest równaniem y ~f(x) dla xe(«i,ń),

|8,) krzywa opisana jest równaniami parametrycznymi (jakimi - podaj postać).

b) Oblicz długość łuku krzywej y • lnsinx dla x € (—