rozniczki01

0. Zadania wstępne.

1.    Sprawdzić, żc

a)    funkcja x(t) = ln(5 + e^v) jest rozwiązaniem równania x'(t) = e^ł~^x.

b)    funkcja x(t) zadana w sposób uwikłany a^x+t = —x + 2009 jest rozwiązaniem równania x'(i + e~^x~^t) = 1.

2.    Znaleźć równanie różniczkowe (możliwie niskiego rzędu), którego rozwiązaniem jest zadana rodzina krzywych.

a)    x(t) = Ct³,C e M. Odp. x'{t) =

b)    x(t) = sin(t + C), Ce8. Odp. x"(t) = -x.

c)    t² + Cx² = 2x. Odp. (a; - t²)x' + tx = 0.

3.    Rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy’ego.

a)    x'{t) = — | A x(l) = 1. Odp. x(t) = y/2 - t², t 6 (-\/2, - V2).

b)    x'(t) = — 2tx Az(0) = —5. Odp. x(t) = Se^-*², t £ R.

c)    x'(t) = (t — x)² + lAx(0) = —1. Wskazówka: podst. z = t — x. Odp. x(t) = t——^/\t 6 (—l,+oo).

d)    2x' + x² + t~² + 0 A x(l) = 3. Wskazówka: podst. z = tx. Odp. x(t) = | + _t+}_nt A te (1 /e, +oo)

4.    Dane jest równanie (a) x' = | (b) x' = |±|.

a)    znaleźć izokliny

b)    znaleźć rozwiązania tego równiania i określić przedziały na których są zdefiniowane

c)    naszkicować krzywe całkowe (w punkcie (b) zmienić współrzędne na biegunowe)

d)    dokąd dążą krzywe całkowe, gdy t —> 0.

5.    W jakich punktach prawa strona równania NIE spełnia założeń twierdzenia Picarda-Lindclófa?

a)    y’ = \/i-y²

b)    x' =

Czy rozwiązania odpowiadające tym punktom są rozwiązaniami osobliwymi? Odpowiedź uzasadnić.

A. Równania o rozdzielonych zmiennych.

51    xydx + (x + 1 )dy = 0 odp. y — C(x + l)e~^x, x = -1

52    yjy² + 1 dx — xydy odp. In \x\ = C + y/y² + 1

53    (x² - 1 )y' + 2xy² — 0, y{0) = 1 odp. 2/(ln \x² - 1| + C) = 1 y = 0, j/[ln(l    - x²) +    1]    =    1

54    y'ctgx + y — 2 y(0) = —1 odp. y = 2 + Ccosx;y = 2 — 3cosx.

62 y' — cos(y — x) odp. ctg^^- = x + C; y — x = 2irk, k — 0, ±1, ±2,...

- Scałkować równanie 2yy/by - y²dx - (b² + x²)dy = 0 i wydzielić krzywą    całkową    przechodzącą przez

punkt (0,5). Znaleźć rozwiązania osobliwe.

1