0005

6

Liczby rzeczywiste

2.    Uporządkowanie zbioru liczb wymiernych. Umówmy się z początku, że równe liczby będziemy uważali za jedną i tę samą liczbę w różnych postaciach. Innymi słowy pojęcie równości (=) oznacza u nas tożsamość. Dlatego nie przytaczamy własności liczb równych.

Uporządkowanie liczb wymiernych wyznacza pojęcie większości (>), z którym związany jest pierwszy układ własności:

I. 1° dla każdej pary liczb a i b zachodzi jedna i to dokładnie jedna z relacji

a = b, a>b, b>a;

I. 2° z a>b oraz b>c wynika a>c (przechodniość relacji >);

I.    3° jeżeli a>b, to istnieje taka liczba c, że

a>c i c>b

(zasada gęstości) (').

Pojęcie mniejszości wprowadzamy już jako pojęcie wtórne. Mówimy mianowicie, że a<b wtedy i tylko wtedy, gdy b>a. Łatwo zauważyć, że z a<b i b<c wynika, że a<c (przechodniość relacji <). Istotnie, nierówności a<b i b<c są równoważne z założenia nierównościom b>a i c>b; wynika stąd, że c>a (I. 2°), czyli że a<c.

Poniżej przytoczymy dalsze własności pojęcia większości, związane z działaniami arytmetycznymi nad liczbami wymiernymi.

3.    Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych. Drugi układ własności związany jest z dodawaniem, tj. z operacją znajdowania sumy dwóch liczb. Dla każdej pary liczb a i b istnieje (dokładnie jedna) liczba, zwana sumą liczb a i b (i oznaczana przez a+b). Pojęcie to ma następujące własności:

II.    1° a + b = b + a (przemienność dodawania),

TI. 2° (a+b) + c = a + (b + ć) (łączność dodawania).

Szczególna rola zera charakteryzuje się własnością:

II. 3° a+Q~a\ ponadto

IT. 4° dla każdej liczby a istnieje liczba —a (przeciwna do a) taka, że a+(—a)=0.

Na podstawie tych własności powstaje zagadnienie odejmowania jako działania odwrotnego do dodawania. Jeżeli przez różnicę liczb a i b rozumieć, jak zwykle, taką liczbę c, dla której c + b=a (²), to powstaje pytanie, czy liczba taka istnieje i czy jest określona jednoznacznie.

Przyjmując c=a+( — b), otrzymujemy (II. 2°, 1°, 4°, 3°):

c + b = [a+( — bj] + b = a + [(-b) + b] = a + [b + ( — b)] = a + 0~a, a więc liczba c zgadza się z definicją różnicy. ¹

1

Przy tych warunkach mówi się także, że liczba c leży między liczbami a i b; oczywiście liczb takich jest nieskończenie wiele.

(²) Ze względu na II. 1° równość tę, określającą różnicę, można również napisać w postaci: b+c = a.