0023

24

Liczby rzeczywiste

Przejście do liczb o dowolnych znakach jest bezpośrednie, przy uwzględnieniu reguły znaków. Jeżeli choć jeden z czynników a, fi, y jest równy zeru, to oba iloczyny przyjmują wartość zero.

Przejdźmy do własności:

III. 4° Dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od zera istnieje (odwrotna do niej) liczba 1/a, spełniająca warunek:

1

a • —= 1.

a

Wystarcza ograniczyć się do liczby niewymiernej a. Niech z początku będzie a>0.

Jeżeli a jest określona przez przekrój A\A', to w następujący sposób tworzymy przekrój dla liczby 1/a. Do dolnej klasy A tego przekroju zaliczamy wszystkie liczby ujemne, zero, a także wszystkie liczby postaci 1/a', gdzie a' jest dowolną liczbą klasy A'. Do górnej klasy A' zaliczamy wszystkie liczby postaci 1/a, gdzie a jest dowolną liczbą dodatnią klasy A. Łatwo przekonać się, że w ten sposób otrzymujemy przekrój, który określa liczbę dodatnią, rzeczywistą (w tym przypadku — niewymierną); liczbę tę oznaczamy przez 1/a.

Udowodnimy, że spełnia ona żądany warunek. Jeżeli uwzględnimy konstrukcję liczby odwrotnej, to z samej definicji iloczynu otrzymujemy, że liczba a-(1/a) jest jedyną liczbą rzeczywistą, zawartą między liczbami postaci a/a' i aj a, gdzie a i a' są dodatnimi liczbami wymiernymi, spełniającymi nierówności a<a<a'. Ponieważ jednak również liczba 1 jest zawarta między wspomnianymi liczbami:

więc jest ona szukanym iloczynem. Jeżeli a<0, to przyjmujemy otrzymując według reguły znaków

Skoro przekonaliśmy się, że zbiór liczb rzeczywistych ma ze względu na mnożenie wszystkie podstawowe własności III. 1° - 4°, to jasne jest, że dla obszaru liczb rzeczywistych pozostają w mocy uwagi z ustępu 4 o istnieniu i jednoznaczności ilorazu et/fi liczb a i fi (przy warunku, że 0), itd.

Rozdzielność mnożenia III. 5°

(<*+£)•>=<*• y+fi- y

zachodzi również dla dowolnych liczb rzeczywistych, czego łatwo dowieść w przypadku