0088

89

§ 1. Pojęcie funkcji

Niekiedy, szczególnie w zagadnieniach technicznych, zasługują na uwagę następujące funkcje:

6° Funkcje hiperboliczne. Tak nazywamy funkcje:

tghx =

e^x-e~^x sinhx =-, 2	( coshx =
sinh x e^x—e~^x	ctgh x =
coshx e^x+e~^x’

e^x + e~^x

coshx e^x+e~ sinh x e^x — e"

(sinus hiperboliczny, kosinus hiperboliczny, tangens hiperboliczny, kotangens hiperboliczny).

Funkcje te są określone dla wszystkich x, wyłączając ctghx, który traci sens przy x=0. Funkcje te wykazują zastanawiającą analogię z funkcjami trygonometrycznymi.

Na przykład słuszne są wzory (zwrócić uwagę na znaki!)

cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y, sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, z których w szczególności dla y=x wynika, że

cosh² x-sinh² x= 1,    cosh 2x = cosh² x + sinh² x,    sinh 2x = 2 sinh x cosh x.

Na przykład pierwszy z tych wzorów sprowadza się do łatwo sprawdzalnej tożsamości:

_ex + y _{+ e}-x-y _£x _{+ e}-

e^y+e

+

e^y-

i podobnie sprawdzamy następne wzory.

Wykresy funkcji hiperbolicznych podano na rysunkach 17 i 18.