0116

§ 3. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych

117

małych, dlatego, że jeśli np. y jest wyższego rzędu niż a, to jest ona także wyższego rzędu

niż p. Rzeczywiście, z tego że lim

=0, wynika, że również

y

y y    a

lim — = lim-= lim---= 0 .

P a + 7    y

cc

Rozważmy dwie nieskończenie małe równoważne a i p, tak że P = a + y, gdzie y = o(a). Jeżeli wziąć w przybliżeniu px a (¹), to w miarę zmniejszania się obu wielkości dąży do zera zarówno błąd bezwzględny |y|, jak i błąd względny |y/a|. Innymi słowami, dla dostatecznie małych cc i P można z dowolnie dużą dokładnością przyjąć axp. Na tym opiera się przy obliczeniach przybliżonych zamiana złożonych co do postaci nieskończenie małych, równoważnymi im wyrażeniami prostszymi.

Ustalimy teraz pożyteczne kryterium równoważności dwóch nieskończenie małych, które w istocie może służyć za drugie określenie, równoważne, tego pojęcia:

Na to, żeby dwie nieskończenie małe cc i P były równoważne, potrzeba i wystarcza, żeby było

lim —= 1 . a

Niech z początku spełniony będzie ten warunek, czyli

a wówczas

p

<5=~-l-0,

cc

y = P — cc-S-a

jest wielkością wyższego rzędu niż a, bo

lim —=lim <5=0 . cc

Niech teraz odwrotnie, cc i P będą wielkościami równoważnymi, tj. y=p—a ma być nieskończenie małą wyższego rzędu niż a. Mamy więc

j3    y    p

— — 1 = —‘O , skąd —-»1, aa    a

cnd.

Za pomocą tego kryterium widać np. od razu, że gdy jc-»0 nieskończenie małe sin x i tg x są

m j-- 1

równoważne x, a V 1+r-l jest równoważne---x. Stąd przybliżone wzory

m

sinr«^, tg a: « a

(*) Znak « oznacza równość przybliżoną.