0114

115

§ 3. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych

61. Skala nieskończenie małych. Niekiedy bywa pożyteczne wyrażenie rzędu nieskończenie małej pewną liczbą w stosunku do innej nieskończenie małej (o ile to jest możliwe). W tym przypadku, przede wszystkim, jako pewnego rodzaju wzorzec wybieramy jedną z figurujących w danym badaniu nieskończenie małych (np. a), i nazywamy ją podstawową. Oczywiście wybór podstawowej nieskończonej małej jest w pewnej mierze dowolny, ale zazwyczaj wybieramy najprostszą z nich. Jeżeli rozważane wielkości z założenia są funkcjami x, nieskończenie małymi przy dążeniu x do a, to w zależności od tego, czy a jest zerem, granicą skończoną, czy nieskończonością, naturalne jest przyjęcie za podstawową nieskończenie małą wielkości

x , x — a, —.

Dalej, z potęg podstawowej nieskończenie małej a (przyjmiemy, że a>0) z różnymi wykładnikami dodatnimi, a\ tworzymy jakby skalę dla oceny nieskończenie małych bardziej złożonej natury (’).

III. Umawiamy się uważać nieskończenie małą p za wielkość k-tego rzędu (względem podstawowej nieskończenie małej a), jeżeli p i a^k są wielkościami tego samego rzędu, tj. jeżeli iloraz p/cc^k ma granicę skończoną, różną od zera.

Teraz, dla przykładu, można bez korzystania z twierdzenia, że nieskończenie małe (1) (przy x-»0) są wielkościami wyższego rzędu niż a=x, powiedzieć dokładniej, że pierwsze dwie z nich są nieskończenie małymi drugiego rzędu, a ostatnia — trzeciego rzędu względem a = x, bo [56, 4) 5), a) i b)]

1 — cosx lim -1—

x^0 *

2 ’

lim

tg x — sin x

Jako przykład bardziej skomplikowany, rozpatrzmy wyrażenie

P = \x +1+ Vx — ł — 2jx;

przy x—+ + oo jest ono nieskończenie małą, co staje się jasne po przedstawieniu jego w postaci

P = (\Jx+\— \Jx) — (%/x — Vx — 1) = -

\/x+l+Vx Vx + Vx— 1 Kontynuując to przekształcenie, otrzymujemy:

/* =

Vx—1—Vx+1 2

(Vx + 1 + Vx)(Vx + n/x — 1) (\/x +1 + Vx) (vx + \/x—7) (Vx—l + Vx + l)

(’) Łatwo zauważyć, że przy A>0 wielkość a* jest nieskończenie małą w porównaniu z a.