0120

121

§ 3. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych

Dla uproszczenia wzoru, zauważmy, że

OD R-r

a«sina = — =-.

Oo d '

przy założeniu, że R—r jest małe w porównaniu z d. Przy tym samym założeniu

Po podstawieniu tych wartości i przekształceniu, otrzymujemy wzór końcowy:

(R-r)²

l»n(R + r)+2d+

3) Przy podziale luków okręgów w terenie nabiera znaczenia następujące zadanie: znaleźć stosunek strzałki f—DB luku ABC okręgu do strzałki fi = D_lB_l połowy AB_tB tego łuku (rys. 27).

Jeżeli przyjmiemy promień okręgu r, <£AOB= ę, to %.AOBi=%ę, i

f=DB=r( 1 —cos <p),

/i = r(l —cosi <p) .

Tak więc szukany stosunek równa się

/    1 —cos <p

fi 1—cos^ęj

Wyrażenie to jest zbyt złożone, żeby można się nim było posługiwać w praktyce. Znajdźmy jego granicę, gdy p-»0    R_ys 27

(bo dla dostatecznie małych <p wyrażenie to można w przybliżeniu zastąpić jego granicą). W tym celu zastępujemy licznik i mianownik ich częściami głównymi i znajdujemy od razu:

lim

[_

/.

=iim-

i <P ł(i <P.

Tak więc, dla łuków odpowiadających niewielkiemu kątowi środkowemu, można przyjąć w przybliżeniu, że strzałka półluku jest czterokrotnie mniejsza niż strzałka łuku. Pozwala to budować kolejno pośrednie punkty łuku, dla którego dane są końce i środek.

65. Klasyfikacja nieskończenie dużych. Zauważmy, że dla wielkości nieskończenie dużych może być rozwinięta podobna klasyfikacja. Jak w ustępie 60 przyjmujemy, że rozważane wielkości nieskończenie duże są funkcjami tej samej zmiennej x, które dążą do +oo, gdy x-*a.

I.    Dwie wielkości nieskończenie duże y i z uważamy za wielkości tego samego rzędu, jeżeli ich iloraz z/y (a wraz z nim y/z) ma skończoną granicę różną od zera.

II.    Jeżeli iloraz z/y jest sam nieskończenie dużą (a iloraz odwrotny nieskończenie małą), to z uważamy za wielkość nieskończenie dużą wyższego rzędu niż y, a jednocześnie y uważamy za nieskończenie dużą niższego rzędu niż z.

W przypadku gdy iloraz z/y nie dąży do żadnej granicy, nieskończenie duże y i z są nieporównywalne.