017

17

LL Aksjomaty prawdopodobieństwa

Uwaga. Tradycyjnie, termin „losowo” rozumiany jest jako „zgodnie z geometryczną definicją prawdopodobieństwa”, czyli gdy umieszczamy punkt w pewnej podprzestrzeni w W¹. Dla przestrzeni skończonych termin „losowo” rozumiany jest jako „zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa”, czyli gdy „wszystkie zdarzenia są równoprawdopodobne”.

1.1.4. Zadania

1.1.1.    Doświadczenie polega na rzutach kostką do gry tak długo, aż wyrzucimy po raz pierwszy sześć oczek. Określić przestrzeń probabilistyczną i zdarzenie A_n polegające na wyrzuceniu „szóstki” po raz pierwszy za /2-tym rzutem.

1.1.2.    W zadaniu 1.1.1 obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba rzutów będzie równa m, gdzie m— 1,2,... .

1.1.3.    Drut o długości / zgięto w dwóch niezależnie wybranych punktach. Obliczyć prawdopodobieństwo, że można w ten sposób utworzyć trójkąt.

1.1.4.    Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby p i q. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że równanie a*² + px + q — 0 będzie miało dwa sprzężone pierwiastki zespolone? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

1.1.5.    Udowodnić, że Pr(AU£) - Pr (A) + Pr(B) -Pr(A r\B).

1.1.6.    Dla jakich zdarzeń A i B zachodzi wzór

Pr (A U B) - Pr (A) + Pr(fl) - Pr (A) - Pr(fl) ?

wzór na

1.1.7. Wzorując się na zadaniu 1.1.5, sformułować wzór na Pr(AUBUC) i uogólnić na przypadek sumy n zdarzeń, tzn. zna obliczenie

i

Mlm,V

i=l

1.1.8. Udowodnić, że

nie wykonując rachunków.