022

22

1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo

Przykład 1.3.4.

Na przenośnik taśmowy trafiają jednakowe produkty wytwarzane przez dwa automaty. Stosunek ilościowy produkcji pierwszego automatu do produkcji drugiego wynosi 3:2. Pierwszy automat wytwarza średnio 65% produktów, a drugi zaś 85% produktów pierwszej jakości. Spośród produktów na przenośniku wybieramy losowo jeden produkt. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany produkt będzie pierwszej jakości.

Rozwiązanie.

Niech A_i oznacza, że wylosowany produkt jest wyprodukowany przez i-ty automat, i = 1,2. Wiadomo, że

Pr^ + PrC^,

Stąd Pr(A,) = 3/5, Pr(A₂) = 2/5. Niech A oznacza, że wylosowany produkt jest pierwszego gatunku. Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy

3    2

Pr(A) = Pr (A,) Pr(A |A,) + Pr(A₂) Pr(A |A₂) = - 0.65 + -0.85 = 0.73.

Przykład 1.3.5.

Pewna metoda wykrywania uszkodzeń daje następujące wyniki: jeżeli urządzenie ma defekt, to metoda wykrywa go w 90% i nie wykrywa w 10% przypadków; jeżeli urządzenie nie ma defektu, to w 1% mimo to metoda informuje o nim. W partii jest 2% urządzeń mających defekt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrane losowo urządzenie rozpoznane jako uszkodzone jest rzeczywiście uszkodzone?

Rozwiązanie.

Wprowadźmy następujące oznaczenia: A - urządzenie jest uszkodzone, B - metoda wykryła uszkodzenie. Z treści przykładu mamy następujące prawdopodobieństwa: Pr(B|A) =0.9, Pr(B|A) =0.1, Pr(B|A) = 0.01, Pr(A) =0.02. Szukamy Pr(A|B). Ze wzoru Bayesa otrzymujemy

₌    Pr(A)Pr(fi|A)

^{V 1} ’ Pr(A)Pr(B|A)+Pr(A)Pr(B]A)

0.6474.

0.02 0.9

0.02-0.9+ 0.98-0.01

Zadania Zadanie 1.3.1.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że sztuka wybrana na chybił trafił z partii wyprodukowanych przedmiotów jest pierwszego gatunku, jeżeli wiadomo, że 4% całej produkcji to sztuki wykonywane wadliwie, a 75% sztuk dobrych, to sztuki zaliczane do pierwszego gatunku.