025

25

13. Prawdopodobieństwo warunkowe

Uwaga. W literaturze można spotkać się z następującą terminologią: zdarzenia A_v...,A_n nazywa się hipotezami, Pr(A-) - prawdopodobieństwami a priori, zaś Pr(2?|A-) - prawdopodobieństwami a posteriori.

Przykład. Dwóch strzelców strzela do tarczy. Strzelec 1 trafia z prawdopodobieństwem 2/3, a strzelec 2 z prawdopodobieństwem 1/2. Po oddaniu po jednym strzale okazało się, że tarcza została trafiona dokładnie raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafił strzelec 1 ?

Oznaczmy przez A_u fakt trafienia w tarczę przez obydwóch strzelców, A,₍₎ - przez pierwszego, A_m - przez drugiego, a przez A₀₀ przez żadnego. Ponieważ strzelcy strzelają niezależnie (to trzeba założyć), więc Pr(A_u) = 1/3, Pr(A₁₀) = 1/3, Pr(A₀₁) = 1 /6, Pr(A₀₀) = 1/6. Wszystkie te zdarzenia są parami rozłączne, więc są spełnione założenia twierdzenia 1.3.4. Przez B oznaczmy fakt trafienia w tarczę dokładnie raz. Szukanym prawdopodobieństwem jest

Pr(A₁₀UA_n|fi)=Pr(A₁₀|B),

gdyż Pr(A_n|2?) = 0. Wiadomo też, że Pr(Z?|A_l0) Pr(A₁₀) = 1/3 oraz Pr(Z?|A_0I)Pr(A₁₀) = 1/6, pozostałe prawdopodobieństwa warunkowe są równe zeru. Tak więc ze wzoru (1.3.4) otrzymujemy Pr(Z?) = 1 /2. Ze wzoru Bayesa (1.3.5) wynika, że co jest szukanym prawdopodobieństwem.

Zadania 1.3.1 i 1.3.2 również są typowymi zastosowaniami wzoru na prawdopodobieństwo całkowite i wzoru Bayesa.

1.3.3. Zadania

1.3.1.    W dwóch urnach są po trzy kule - w urnie pierwszej są dwie białe, jedna czarna. W urnie drugiej jest jedna biała i dwie czarne. Z urny pierwszej losujemy jedną kulę i przekładamy do drugiej. Z urny drugiej losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała?

1.3.2.    W urnie pierwszej są dwie białe i dwie czarne kule, a w drugiej jedna biała i trzy czarne kule. Z każdej urny losujemy po jednej kuli i następnie losujemy z nich jedną kulę. Okazało się, że wylosowaliśmy kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula ta pochodziła z pierwszej urny?

1.3.3.    Udowodnić, że jeśli Pr(A|f?) = Pr(A|#'), to zdarzenia A i B są niezależne.