0416

417

przybiera postać (9*)

n

Z

j=i

df

8x

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

0

1

80,
8xj	OXj

dxj = 0.

Tutaj znowu występują tylko różniczki zmiennych niezależnych i dlatego współczynniki przy tych różniczkach muszą być równe zeru. A więc oprócz równań (10) otrzymujemy jeszcze równania

(10*)

8x

dx,

8x,

(; = 1,2,..., n) .

Zatem dla znalezienia n+m niewiadomych x_lt x₂, ■ ■■, x_n+m oraz m czynników A,, A₂, ..., A_m mamy n+2m równań, mianowicie m równań (1) stanowiących warunki dodatkowe i n+m równań

df 80,    80_m

——l-Aj —--|-...+A_m ——=0 0= 1, ..., n + m)

8x

8x,

8x,

(porównaj (10) i (10*)).

Aby uprościć pisanie tych równań, wprowadza się zazwyczaj funkcję pomocniczą

F=f+X₁0₁ +... +X_m0_m.

Równania (10) i (10*) można wówczas napisać w postaci

(11)    -j— =0    0=1,2,..., n + m).

vX j

Wyglądają one teraz tak samo, jak warunki na zwykłe ekstremum dla funkcji F. Uwagę tę należy traktować tylko jako wskazówkę ułatwiającą zapamiętanie tych wzorów.

Metoda Lagrange’a również prowadzi do warunków koniecznych. Można tu poza tym powtórzyć wszystko to, co powiedzieliśmy w końcu poprzedniego ustępu.

Uwaga. W wyłożonej teorii istotną rolę odgrywało założenie dotyczące rzędu macierzy (2), z którego korzystaliśmy w każdej z omówionych metod. Przy rozwiązywaniu zadań tymi metodami należałoby uprzednio sprawdzić, czy założenie to jest spełnione we wszystkich punktach spełniających warunki dodatkowe. W przeciwnym razie nie możemy mieć pewności, że znaleźliśmy wszystkie punkty, w których funkcja ma ekstremum warunkowe. Sprawdzame takie w łatwiejszych przypadkach pozostawimy czytelnikowi.

213. Warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego. Ograniczymy się tylko do kilku uwag na ten temat. Załóżmy istnienie i ciągłość pochodnych rzędu drugiego

funkcji/i 0j (J= 1,2,..., m). Niech punkt M₀ wraz z czynnikami X°, X₂.....A” spełnia

znalezione wyżej warunki konieczne.

Odpowiedź na pytanie, czy w tym punkcie jest rzeczywiście ekstremum warunkowe, podobnie jak w przypadku zwykłego ekstremum [198], zależy od znaku różnicy

d=f(x₁,x₂, ...,x„_+m)-f(x°_ltxl, ...,x°_+m),

27 G. M. Fichtenholz