0472

473

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

Jeżeli w granicy, dla At-¹0, równania te mają sens, to wówczas istnieje graniczne położenie siecznej, tj. styczna. W granicy zaś otrzymujemy

X-x Y-y Z-z

(9)    — = —7^ = ^’

x, y, z,

a więc równania te rzeczywiście określają prostą, bo nie wszystkie mianowniki są równe zeru. Tym samym w każdym zwykłym punkcie krzywej istnieje styczna i jest określona tymi właśnie równaniami. Dla punktu osobliwego problem istnienia stycznej pozostaje otwarty.

Uwaga. W równaniach siecznej przechodziliśmy do granicy dla At-¹0; pokażemy teraz, że jest to równoważne założeniu, że MM, —>0. Wobec ciągłości funkcji <p, y/ i % z tego, że At-¹0, wynika, że

MM i = V Ax² + Ay²+Az²—¹ 0.

Aby udowodnić wynikanie w drugą stronę weźmy dowolną liczbę e>0. Ponieważ MM, jest funkcją ciągłą przyrostu At, więc dla \At\^e funkcja ta ma wartość najmniejszą 3, oczywiście dodatnią, punkt M jest bowiem z założenia punktem pojedynczym, tzn. nie można go otrzymać dla żadnej wartości parametru różnej od t. Wobec tego dla MM, < <5 musi być \At\<e, cbdo.

Czasami wygodnie jest pisać równania (9) w postaci

X—x Y—y Z—z dx dy dz

którą otrzymuje się mnożąc wszystkie mianowniki w (9) przez dt.

Oznaczmy przez <x, [i, y kąty, które tworzy styczna z osiami układu. Kosinusy kierunkowe cos a, cos p, cos y są równe

cosa =

±s! x'_t² + y',² + z'²

COS P =

±\! x,² + y'² + z'²

cosy =

±yjx'² + y'² + z'_t²

Znak przed pierwiastkiem wybieramy w zależności od zwrotu stycznej.

Problem znajdowania stycznej do krzywej danej równaniami uwikłanymi F(x, y, z)=0 i G(x, y, z)=0 rozpatrzymy niżej, w punkcie 3°.

2° Przypuśćmy, że dana jest powierzchnia równaniem nieuwikłanym z=f(x, y). W ustępie 180 podaliśmy definicję płaszczyzny stycznej i zakładając, że powierzchnia jest różniczkowalna (¹), znaleźliśmy równanie tej-płaszczyzny [180 (6)]:

z - z =fx (x, y) (X - x) +/; (x, y) (y - y).

1

Założyliśmy tu istnienie i ciągłość pochodnych cząstkowych rozpatrywanych funkcji, a tym samym różniczkowalność [179].