0473

474

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Zazwyczaj wprowadza się oznaczenia

dz    dz

-^₍=fAx,y)=P,    —=/;(x,y) = q.

Przy tych oznaczeniach równanie płaszczyzny stycznej przybiera postać (10)    Z-z = p(X-x) + q(Y-y).

Kosinusy kierunkowe cos X, cos p, cos v normalnej do powierzchni — tak nazywamy prostą prostopadłą do płaszczyzny stycznej w punkcie styczności - wyrażają się wzorami

cos X =

(U)

~P

±Vl +p² + q²

COSjU =

±Vl +p² + q²’

1

cos V = —    —.

±yj \ + p² + q²

Dwa znaki przed pierwiastkami odpowiadają dwóm możliwym zwrotom normalnej. Poprowadźmy teraz na powierzchni przez rozpatrywany punkt dowolną krzywą

x=ę(t), y = y/{t),    z = x(0-

Wtedy równanie

jest tożsamością względem t. Zróżniczkujmy tę tożsamość względem t [181]; otrzymamy

X(t) = p<p'(t) + qy/’(t).

Weźmy styczną do tej krzywej w rozpatrywanym punkcie nieosobliwym; równanie jej napiszmy w postaci (9). Jeżeli w otrzymanej wyżej równości zastąpimy pochodne ę', y/\ y' przez proporcjonalne do nich na mocy (9) różnice X— x, Y-y, Z—z, to otrzymamy równanie (10). Tym samym wszystkie punkty stycznej (9) leżą na płaszczyźnie stycznej (10). Możemy zatem teraz określić płaszczyznę styczną do powierzchni w danym na niej punkcie jako taką płaszczyznę, w której leżą styczne do wszystkich krzywych poprowadzonych na powierzchni przez ten punkt (*).

Jeżeli powierzchnia dana jest równaniem uwikłanym F(x, y, z)=0, to zakładając, że w rozpatrywanym punkcie jest 0, można ją w otoczeniu tego punktu przedstawić równaniem z—f(x, y). Istnienie płaszczyzny stycznej jest tym samym zapewnione.

W tym przypadku

P =

dz

5x

F_x    dz

F_z    dy

^F1

K

(’) W szczególnym przypadku mówiliśmy o tym już w ustępie 180.