0479

480

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

rosty skończone [183, (9)]; otrzymamy

o = Fy (*„. ^n) - F'_y (0,0) = F'ź_y (e_nx_n, e„y_n) ■ x_n + F(0_nx„, 0_ny_n) -y_n (0 < 6_n < 1).

Zatem

K’y (⁰n*„, 0_ny„) + F"₂ (0_nx„, 0„y_n) —=0.

^Xn

d*2

Przechodząc tu do granicy otrzymujemy a_l2 + a₂₂ =0, czyli t₁ =--. Równość ta jest

^a22

fałszywa, bo taką wartość pierwiastek f_x miałby tylko wtedy, gdyby oba pierwiastki trój-mianu a_u +2a₁₂t+a₂₂t² były równe.

Z rozważań tych wynika jednocześnie, że w dostatecznie małym otoczeniu początku układu, żąden z punktów obu gałęzi krzywej — z wyjątkiem samego początku układu — nie jest punktem osobliwym.

Analogicznie rozumujemy w przypadkach, gdy a₂₂ =0, ale _x #0, oraz gdy a_{2 y} =a₂₂ =0, ale    W ostatnim przypadku rolę prostych (ę>₂) i (ę₂) grają osie układu współ

rzędnych.

Zatem przy założeniu, że a_{x x} a₂₂ — a\₂ <0, punkt (0, 0) jest punktem podwójnym krzywej. Przecinają się w nim dwie gałęzie krzywej, z których każda ma w tym punkcie swoją styczną. Współczynniki kierunkowe tych stycznych określone są równaniem a_n +2a₁₂t+a₂₂t²=0. W przypadku a₂₂=0 trzeba przyjąć, że oprócz pierwiastka skończonego równanie to ma jako pierwiastek nieskończoność.

Jako przykłady mogą służyć znane nam już krzywe

(x² + y²)² + 2a²(y² — x²) = 0    (leminiskaia rys. 126),

x³ + y³—3>axy = 0    (liść Kartezjusza rys. 117),

dla których początek układu jest punktem podwójnym. W pierwszym przypadku mamy flł! = — 4a², a₁₂—0, a₂₂ = 4a², 1₂ = 1, t₂ — — 1, a więc stycznymi w początku układu są dwusieczne kątów między osiami współrzędnych. W drugim przypadku a₂ j = a₂₂=0, a_l2 = — 3a, t, =0, r₂ = oo, i stycznymi są osie współrzędnych.

3° Oiiu₂₂ — Oi₂=0.

Załóżmy znowu, że a₂₂/0. Trójmian kwadratowy a₁₁+la₁₂t + a₂₂t² ma w tym przy-

01₂

padku pierwiastek podwójny t₂ =--. Przyjmując jak wyżej =arc tg f_x prowadzimy

^a22

przez początek układu prostą nachyloną pod kątem do osi x. Prosta ta leży w obszarze kątowym między prostymi (ę₂— e) i (cpi +£) (na rys. 137 obszar ten jest zakreskowany). Rozumowanie podobne do przeprowadzonego wyżej prowadzi do wniosku, że na zewnątrz zakreskowanego obszaru i przy tym w dostatecznie małym otoczeniu początku układu współrzędnych funkcja F(x, y) ma stały znak i to ten sam po obu stronach obszaru. Mianowicie jest ona stale dodatnia lub stale ujemna zależnie od tego, czy a₂ 2>0, czy też a₂2<0. Teraz na obu prostych (<Pi ±e) znak funkcji jest ten sam i nie można stosować twierdzenia Cauchy’ego.