0483

484

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Przystępując do rozpatrzenia obwiedni rodziny krzywych zatrzymamy się najpierw na samym pojęciu rodziny krzywych. Spotykaliśmy już nieraz równania krzywych, w których oprócz współrzędnych bieżących x i y zmiennego punktu występował jeden lub kilka parametrów. W przypadku jednego parametru, na przykład a, równanie takie ma, ogólnie biorąc, postać

(1)    F(.x,y,a)=0.

Lewa strona równania jest funkcją trzech zmiennych, z których zmienną a nazywamy inaczej jedynie dlatego, że gra ona specjalną rolę: aby otrzymać konkretną krzywą, trzeba ustalić wartość parametru a. Gdy zmieniamy wartość tego parametru (zazwyczaj w pewnym przedziale) otrzymujemy na ogół krzywe różniące się kształtem lub położeniem.

Zbiór wszystkich tych krzywych nazywa się właśnie jednoparametrową rodziną krzywych, a równanie (1) — równaniem rodziny.

Rys. 140

Niekiedy zdarza się, że dla takiej rodziny krzywych istnieje krzywa, która jest styczna do każdej z krzywych rodziny w jednym lub kilku punktach i przy tym składa się cała z tych punktów styczności (rys. 140). Krzywą taką nazywamy obwiednią rodziny krzywych. Pokażemy teraz, jak zbadać czy istnieje obwiednia i jak ją znaleźć, jeżeli istnieje.

Dla uproszczenia przyjmijmy, że szukamy obwiedni (ściślej — gałęzi obwiedni), która jest styczna do każdej krzywej rodziny w jednym tylko punkcie. Wówczas współrzędne tego punktu styczności są jednoznacznie określone przez podanie krzywej rodziny, czyli przez wartość parametru a.

(2)    'x = ę(a), y = y/{a).

Ponieważ cała obwiednia składa się z punktów styczności, więc równania te są równaniami parametrycznymi.

Załóżmy, że istnieją i są ciągłe pochodne cząstkowe funkcji F i pochodne funkcji <p i y/.

Punkt (2) leży na krzywej (1) określonej przez tę samą wartość parametru a, wobec tego równanie

F(ę(a),<//(a),a) =0

(3)