049

49

2.4. Rozkłady ciągłe

Dowód. Ponieważ {T > t + r₀} C {T > f₀} oraz Pr(T > t) = 1 - F(t) — e"^f/r, to

Pr(7 > t -b T > Tq) —

Pr(T > t + /₀)

Prfr > t

o

= _e-^^+?o)/Vo^/T - e~^^x = Pr(r > ;).

Można też pokazać, czego jednak nie będziemy robić, że tylko rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci, to znaczy że tylko on spełnia warunek (2.4.3).

Rozkład

Weibulla

Uogólnieniem rozkładu wykładniczego jest rozkład Weibulla, którego dys-trybuanta jest modyfikacją dystrybuanty danej równaniem (2.4.2)

0

dla X > 0, dla a < 0,

(2.4.4)

gdzie A > 0 i a > 0.

Rysunek 5: Wykresy gęstości rozkładu Weibulla.

Gęstość tego rozkładu wyraża się wzorem

dla a > 0, dla a < 0.

(2.4.5)

Wykresy dla A — 1 i a — 0.5, a — 1.5, a — 2.5 są przedstawione na rysunku 5.

Dla a = 1 otrzymujemy rozkład wykładniczy. Rozkład Weibulla ma liczne zastosowania w teorii niezawodności.