0523

524

Uzupełnienie

z pochodnymi aż do rzędu n dane wartości d₀, d_y, d₂,    d„. Napiszmy szukany wielo

mian w postaci

(2)    p(x) + (x-oc)'^{,+ 1}<sf(x),

gdzie q(x) jest wielomianem stopnia n, który należy jeszcze wyznaczyć. Wielomian (2) w punkcie x=cc spełnia postawione warunki niezależnie od tego, jak wybierzemy q(x). Zróżniczkujmy wielomian (2) n razy i podstawmy w nim i w jego pochodnych x=(i. Przyrównując otrzymane w ten sposób wyrażenia odpowiednio do liczb d₀, d_x, d₂, ..., d„ otrzymamy układ równań liniowych z niewiadomymi q(fi), q'(P), q"(P), ..., q⁽ⁿ⁾(ft), które z tego układu można kolejno obliczyć. Znając te wartości nietrudno już znaleźć wielomian q(x) posługując się wzorem (1) (porównaj ustęp 130).

Przejdźmy teraz do dowodu twierdzenia. Niech obszar X składa się z m domkniętych przedziałów 9C_k (k = 1, 2, ..., m) ponumerowanych w kolejności zgodnej ze zwrotem osi. Przyjmiemy w tych przedziałach/*=/i uzupełnimy określenie funkcji/* w następujący sposób. Jeżeli lewy koniec a_k przedziału 9C _x jest skończoną liczbą, to przyjmujemy, że dla x<a_{ funkcja/* jest równa wielomianowi (1), dla którego

c₀=/(«i),    •••, c_n=f^{n\a i).

Analogicznie przedłużamy funkcję / w prawo od 3C_m, jeżeli prawy koniec b_m tego przedziału jest liczbą skończoną. W przedziale (b_k, a_k+,) (k = 1, 2, ..., m — 1), oddzielającym 3£_k od &_k+l utożsamiamy funkcję/* z takim wielomianem, który wraz ze swoimi pochodnymi przybiera w obu punktach x = b_k i x = a_k+1 te same wartości, co funkcja fi jej pochodne aż do rzędu n. Widać bezpośrednio, że określona w ten sposób funkcja /* jest szukanym przedłużeniem funkcji / na cały obszar £■* = (—oo, +oo).

258. Postawienie zagadnienia w przypadku dwóch zmiennych. Przy przejściu do funkcji wielu zmiennych sprawa komplikuje się od razu. Ograniczymy się w dalszym ciągu do przypadku funkcji dwóch zmiennych. Wyniki, które tutaj uzyskamy, przenoszą się na ogólny przypadek dowolnej liczby zmiennych.

Będziemy rozpatrywali obszary M przestrzeni dwuwymiarowej rozumiejąc przy tym przez obszar albo obszar otwarty, albo też obszar otwarty z dołączoną częścią brzegu & lub z dołączonym całym brzegiem. W tym ostatnim przypadku obszar będzie oczywiście domknięty.

Przy rozszerzaniu definicji funkcji klasy («^ 1) na przypadek funkcji dwóch zmiennych napotykamy od razu na swoistą trudność. Mianowicie może się zdarzyć, że w punkcie leżącym na brzegu obszaru nie daje się zastosować definicja pochodnej cząstkowej któregoś typu. Na przykład jeżeli obszar ^ jest domkniętym kołem x²+y²< 1, to w punktach (0, +1) nie można mówić o pochodnych cząstkowych względem x. Dla y= ± 1 wartości x=0 nie można bowiem nadać żadnego przyrostu nie wychodząc od razu poza obszar, w którym funkcja jest określona. Analogicznie w punktach (±1, 0) traci sens pochodna cząstkowa względem y.