0525

526

Uzupełnienie

A więc liczba ffx₀, y₀) znaleziona jako granica pochodnej jest naprawdę pochodną z zwykłym sensie.

To samo można udowodnić kolejno dla pochodnych wyższych rzędów.

Przyjęta wyżej umowa pozwala mówić o ciągłych pochodnych w dowolnym obszarze Ji niezależnie od tego, jak są położone względem obszaru punkty brzegu należące do obszaru. Będziemy mówili, że funkcja f(x, y) jest klasy ^eśⁿ («> 1) w obszarze dwuwymiarowym Ji, jeżeli jest ona ciągła w Ji i ma w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich typów aż do rzędu n włącznie. Przypuśćmy, że obszar Ji nie zawiera całej płaszczyzny. Jeżeli w pewnym obszarze M¹ zachodzącym na Ji istnieje funkcja /¹ także klasy ⁽£ⁿ, pokrywająca się z funkcją / we wspólnej części obszarów Ji i Ji¹, to będziemy mówili, że funkcja f¹ jest przedłużeniem funkcji f na obszar Ji¹ z zachowaniem klasy. Nasuwa się naturalnie i tutaj pytanie, czy zawsze jest możliwe takie przedłużenie na większy obszar, w szczególności na całą płaszczyznę? Pokażemy, że dla domkniętego obszaru Ji odpowiedź jest twierdząca, jeśli tylko brzeg obszaru spełnia pewne proste warunki. Przy tym dla uproszczenia wykładu będziemy zakładali, że obszar Ji jest ograniczony, chociaż ostateczny wynik jest prawdziwy również dla nieograniczonego obszaru.

Zreferowane tu wyniki należą w zasadzie do H. Whitney’a i M. R. Hestenes’a.

259. Twierdzenia pomocnicze. Dla uproszczenia dowodu zasadniczego twierdzenia udowodnimy najpierw pewne lematy.

Lemat I. Niech funkcja <p{u, v) będzie klasy #ⁿ (n^l) w obszarze & określonym nierównościami

a<u<b, O^uKAf).

Istnieje wówczas przedłużenie ę¹ funkcji ę z zachowaniem klasy na cały prostokąt

&¹={a, b ; —A, A).

(3)

(-1)% +

Wyznaczmy n+1 liczb A_lf A₂, •••,•A_II+l z układu n+1 równań liniowych -y) ^{A2 +} -⁺(“^j) ^A"^{+1 = 1} (^fe = °.l,2,...,n).

Można to zrobić, ponieważ wyznacznikiem układu jest tzw. wyznacznik Vandermonde'a 1 1

dla liczb —1,--,...,--, który jak wiadomo jest różny od zera.

2    n+1

Określimy teraz w funkcję (p¹(u, v) przyjmując ę¹(u,v)= ę(u,v) dla oraz

(4)

ę¹(u,v) = ki ę{u, -v) + k₂ ę(u, —j vJ+...+k„₊₁ ę(^u,    vj

dla y <0. Niech u_Q będzie dowolną wartością u z przedziału (a, b). Korzystając z równania

1

Przedział (a, b) może być nieskończony. Również zamiast dodatniej liczby A może być +oo.