065

65

3.1. Nierówność Czebyszewa i prawa wielkich liczb

Jeżeli dla pewnego ciągu X_i zachodzi równość (3.1.7), to mówimy, że dla tego ciągu zachodzi słabe prawo wielkich liczb. Wobec tego, twierdzenie 3.1.6 można sformułować również w ten sposób, że jeśli spełniony jest warunek (3,1.6), to zachodzi słabe prawo wielkich liczb.

Z twierdzenia 3.1.6 wynika twierdzenie 3.1.4, gdyż warunek (3.1,6) przybiera wtedy postać lim,^*, (na²) /n¹ — 0 i oczywiście jest spełniony.

Przykład. Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych takich, że EX, = a In/. Wtedy D²X_i = (a ln i)² i warunek (3.1.6) ma postać

lim X (aln/)² — 0.

fl—>oo mZ f J /=1

Ponieważ dla 0 < k mamy ln k ^ n, to

Y^-ilni n Inn Inn

=--► 0

9^9

n^L    n^l n

a więc warunek (3.1.6) jest spełniony i zachodzi słabe prawo wielkich liczb.

3.1.3. Zadania

3.1.1.    Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem X. Korzystając z nierówności Markowa i Czebyszewa oszacować dla X = 1 i X = 0.01 prawdopodobieństwa Pr(X > 10) i Pr(|X — \/X \ > 10). Porównać otrzymane oszacowania z wartościami dokładnymi.

3.1.2.    Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować z dołu prawdopodobieństwo, że przy 100 rzutach monetą liczba reszek będzie zawarta pomiędzy kwartylem rzędu 1, a kwartylem rzędu 3. Porównać wynik z oszacowaniem uzyskanym przy pomocy reguły 3-sigmowej.

3.1.3.    Dla danych z zadania 3.1.2 wykorzystać nierówność Bernsteina.

3.1.4.    Niech X_i będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie normalnym N(m,a). Jak duże musi być n, aby w słabym prawie wielkich liczb można było zastąpić granicę wyrażeniem skończonym z błędem nie większym niż 0.001?

3.1.5*. Udowodnić twierdzenie 3.1.6.