053

53

3.1. Nierówność Czebyszewa i prawa wielkich liczb

Szukamy takiego n, aby

Pr

X

-0.4

<0.1 > 0.9.

Korzystając z nierówności Czebyszewa otrzymujemy X

Pr

-0.4

>0.1 <

(0.1)

24

2 = — <0.1,

4-    n

co jest równoważne warunkowi n > 240.

Przykład 3.1.3.

Niech X_l,X₁,X₂... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, gdzie X_i ma rozkład Poissona z parametrem X_i — 1 /\fi. Sprawdzić, czy zachodzi słabe prawo wielkich liczb.

Rozwiązanie.

Mamy sprawdzić, czy

lim Pr

H-----bX_n EX, H-----H EX„

n    n

> e = 0.

Z nierówności Czebyszewa, jeżeli (jest to warunek dostateczny)

X. 3-----\-X_n

zEd²^0

1=1

dlan —>oo_s to dla ciągu X_lyX₂,... zachodzi słabe prawo wielkich liczb. Ponieważ

0<4E^d2*; = ^E-U4 ⁼ 1^⁰

1=1

"2 ^    ‘    n^2/-; Ji n² n

1=1 ^V

dla n -> °°, więc dla ciągu X, ,X₂,... zachodzi słabe prawo wielkich liczb. Łatwo zauwa-

1 "

i=t

żyć, że jeżeli dla każdego i zachodzi nierówność D²X, < c, to warunek ^E^D2*,J^est spełniony. W tym przykładzie D²X, = l/\/7 < 1.

Zadania

Zadanie 3.1.1.

Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0,1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować prawdopodobieństwo, że X ^ 3/4. Porównać oszacowanie z wartością dokładną.

Zadanie 3.1.2.

Zmienne losowe X, (/ = 1,2,3,4) są niezależne o tym samym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Oszacować Pr(Xj +X₂+X₃ +X₄ < 3).