093

6.1. Testy parametryczne

93

6.1.3. Testy dla dwóch średnich

Rozkład

normalny,

wariancje

znane

Testy przedstawione poniżej sprawdzają hipotezę o równości średnich w dwóch populacjach. Podobnie jak w punkcie 6.1.1 rozważymy trzy modele.

Model I. Populacje mają rozkłady N(m₁,cr₁) i N(m₂,a₀), a odchylenia standardowe są znane. Nieznane są natomiast parametry m| i m₂, dla których stawiamy hipotezę H₀ : mj — m₀, przeciwko jednej z hipotez alternatywnych:

Z dwóch niezależnych prób o liczebnościach n_{ i n₂ obliczamy statystykę

(6.1.6)

Rozkład normalny, wariancje nieznane, ale równe

Statystyka ta ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład N(0,1). Obszar krytyczny przyjmujemy dwustronny, prawostronny lub lewostronny, w zależności od postaci hipotezy alternatywnej.

Model II. Populacje mają rozkłady N(m_l,a,) i N(m₂,cr₂), a odchylenia standardowe są nieznane, ale wiadomo że są równe, = a₂ = o. Statystyka

(6.1.7)

ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład r-Studenta o n_] +n~> - 2 stopniach swobody.

Jeśli próbę prostą tworzą pary (X_i,Y_i) z tej samej populacji, a chcemy zweryfikować hipotezę H : m_x = m₂, to stosujemy statystykę

t —

Z

s

\/n - 1,

(6.1.8)

dla różnic Z_i — Y_i — X_}. Statystyka ta ma rozkład r-Studenta o n — 1 stopniach swobody.

Rozkłady dowolne, duże próby, skończone wariancje

Model III. Populacje mogą mieć dowolne rozkłady, ze skończonymi drugimi momentami. Ponadto zakłada się duże próby (co najmniej kilkadziesiąt). Stosujemy tu metody takie jak w modelu I, ale gdy wariancje nie są znane, podstawiamy Sj w miejsce af.