35 (367)

88 II. Parametryczne testy istotności

§ 2.6. TEST DLA DWÓCH WARIANCJI Podstawowe wyjaśnienia

W przypadku gdy badanie statystyczne ze względu na pewną cecha mierzalną prowadzimy w dwóch populacjach, może zajść potrzeba sprawi dzenia hipotezy o jednakowym stopniu rozproszenia wartości badanej; cechy w obu populacjach. Gdy populacje mają rozkłady normalne, można tę hipotezę łatwo sprawdzić podanym poniżej prostym testem istotnościj

Najczęściej podany tu test służy jako sprawdzenie założenia wymaganego; przy teście t Studenta dla dwu średnich (por. § 2 tego rozdziału). Założenia występujące tam dotyczy właśnie równości wariancji w obu populacjach] których średnie chcemy porównać.

Rozkładem, którym będziemy posługiwać się w omawianym teścia jest rozkład F Snedecora. Ze względu na to, że dostępne tablice tego rózl kładu zostały sporządzone tak, iż podają taką wartość F_a, dla której zachol dzi równość F⁽{F^F„}—% w omawianym teście obszar krytyczny jesfi prawostronny. Dlatego oznaczenia populacji numerami 1 i 2 należy tałcl przyjąć,, aby w ilorazie' dwu wariancji z prób licznik był zawsze większa od mianownika.. Przy odczytywaniu z rozkładu F Snedecora wartości krytycznej F_a dla tegó testu należy pamiętać, że występują w nim dwa rodzaj! stopni swobody — licznika i mianownika, przy czym w tablicach tego rozĄ kładu w główce umieszczone są stopnie swobody licznika, a w boczki! stopnie swobody mianownika.

Ze względu na to, że w omawianym teście wygodniej jest używać stal tystyki

1

n —1

W

Z (Xi-x)

2

jako estymatora wariancji a², to w przypadku gdy obliczono wartość sta! tystyki

s²=— £ (Xi-X)², n i=i

przekształcamy ją na wartość s ² według wzoru

(2.9)

Model. Dane są dwie populacje generalne mające odpowiednio rozkłady normalne N(mi, er*) i N(m₂, <r₂)> gdzie parametry tych rozkładów Mi| nieznane. Z populacji tych wylosowano niezależnie dwie próby o liczebności odpowiednio n_L i n₂ elementów. Na podstawie'wyników tych prób nu leży sprawdzić hipotezę H₀:    wobec hipotezy alternatywnej!

//.: o\>a\.

Test istotności dla tej hipotezy jest następujący. Z obu prób wyznaczamy wartości sf i $§> przy czym s i> s|; Z kolei wyznaczamy według wzoru.

S.2 :

wartość statystyki F, która przy założeniu prawdziwości hipotezy H& ma rozkład F Snedecora z n_t — 1 i n₂—\ stopniami swobody. Następnie dla ustalonego z góry poziomu istotności a odczytujemy z tablicy rozkładu F Snedecora wartość krytyczną F_a, tak by spełniona była równość P{/•> F_a) = (rys. 8). Nierówność F^F_a określa obszar krytyczny w tym teście*

Kii. gdy z porównania wartości obliczonej F i krytycznej F_x otrzymamy tę; nierówność, hipotezę H₀ o równości wariancji, w populacjach odrzucamy lia korzyść hipotezy.alternatywnej //j, mówiącej, że wariancja w przyjętej Umownie jako pierwszej populacji jest większa. Gdy nątomiast otrzymamy nierówność F<F_a, nie ma podstaw dó odrzucenia hipotezy H₀,

Przykład. Przed zastosowaniem testu ) Studenta dla hipotezy, że średnie zarobki pracowników zatrudnionych na tych samych stanowiskach