071

71

5.1. Estymacja punktowa

Rozwiązanie.

Wykorzystamy tu wynik otrzymany w przykładzie 5.1.2. Ponieważ

oo, to również E7^ estymatora.

« +1

dla n

n+ 1

+ a — 1 —> a. A to daje asymptotyczną nieobciążoność

Przykład 5.1.4.

Niech x_l,x₂,...,x_n będzie realizacją próby prostej X_t ,X₂,... ,X_n z populacji o rozkładzie trzypunktowym:

Pr(X = — 1) = 0.5 — p, Pr(X = 0) = 0.5, Pr(X = !)=/>.

Znaleźć estymatory parametru p metodą momentów i metodą największej wiarogodności. Rozwiązanie.

Najpierw wyznaczymy estymator metodą momentów. Ponieważ

m = EX = (—1) (0.5 —p) + 0-0.5 + 1 - p =    >

więc

P =

2 m+ 1 4

Stąd

2X+\

^{p =} ~T-

Aby wyznaczyć estymator metodą największej wiarogodności, tworzy się najpierw funkcję wiarogodności. Dla uproszczenia zapisu niech k oznacza liczbę obserwacji przyjmujących wartość — 1, a l - liczbę obserwacji przyjmujących wartość 0 wśród x_i ,x₇,... ,x_n. Funkcja wiarogodności ma postać

L{x_vx₂,...,x„\p) =L(k, l,n-,p) = Pr(A, =x,)...Pr(A^,„ =x„) = (0.5~p)^k{0.5)^lpⁿ-^k~^l.

Szukamy punktu p, w którym L(p) osiąga największą wartość. Wygodnie jest w tym celu zlogarytmować funkcję L, bo ln A osiąga maksimum dla tego samego p co L. Zatem

In L(k,l,n\p) = A:ln(0.5 — p) + /ln0.5 + (n — k — l)]np.

Ponieważ L jest różniczkowalna względem p i ma maksimum, to szukane p wyznaczymy z równania