137

137

Odpowiedzi i wskazówki

c) Pr(l <X <2,-1 <Y < 1) = (e^-4 — e^-2) (_e-³-l).

7.1.7.    A = ce/3, wtedy X i Y są niezależne, skąd f(x\y) = f_x(x) = at ^ax, f(y\x) =

f_Y(y) = pe-^y.

7.1.8.

^a)    f(^x->y) = fx(^x)fy(y)’ gdzie gęstości brzegowe mają rozkłady N(0,1). Zatem Pr(X > 1) = 1 —<J>(1) = 0.1587.

b)    Niech A = {(jc,_y) : Jt² + y² < 1}.

Pr((X,Y)eA) = Jj f(x,y)dxdy = 2_]JĘ(l-e~^1/2y

A

7.1.9.    Dla y€ (0,1)

- dlax€[0,y], 0 dla x [0,y],

' 1

/Wy) = •

Dla y 6 (1,2)

dla x€ [2 —y,2],

0 dla x$. [2 — y, 2].

Dla x e (0,1)

/(,«=/2^

(0    dla y ^ [x,2 — x}.

7.1.10.    X i Y są niezależne, więc Pr(X < 1/2|P < 1/3) = Pr(X < 1/2) = 3/4.

7 111 f/ i \i    J^ + 3/2 dla x € (0,1/2),

7.1.11.    /W,>l,„_/2 = |_0    dla^₍₀,i_/2).

E(Ajy = 1/2) = 9/32, E(sinAjy = 1/2) = (l/2)sin(l/2). Prawdopodobieństwa:

a)    Pr(l/2<|X|^3/4|y = -l/2) = 0,

b)    Pr(X<l|X + y = l) = l,

c)    Pr(X² + y² < 1) = 1.

/Wy) =

7.1.12.

a)    Są zależne, bo Pr(X = -l,y = 2) = 0.1 ^ Pr(X = -l)Pr(X = 2) = 0.16-0.6 = 0.096.

b)    m₂(-l) = 2.75, m₂(0) = 2.75, m₂(l) « 2.8888.

37

12

29

6

3

7.1.13. m_l (y) =

dla y = 1,

dla y = 2, dla y = 3.